Este blog estaba escrito para plantear problemas de matemáticas, con objeto de entrenar a mis alumnos para presentarse a concursos de resolución de problemas (como la Olimpiada Matemática). Tiene un blog hermano donde publicaba las soluciones. De momento, está pendiente de recuperar algo de tiempo y ganas para continuar.
La frecuencia de publicación será semanal, y las soluciones se publicarán con cierto retraso respecto al enunciado.
domingo, 2 de mayo de 2010
Desigualdad entre sumas y productos
IV Concurso IES Miguel Hernández, 2009
Supongamos que a, b y c son tres números reales positivos. Demuestra que si a + b + c < 1/2 , entonces (a + 1)(b + 1)(c + 1) < 2
La meua estimació és més baixa, només puc afirmar amb seguretat que és menor que 7/4, però té l'avantatge que no cal recorrer a cap desigualtat prèvia.
(a+1)(b+1)(c+1)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc= 1+abc+a+b+c+((a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2)/2, i ara, sabent que a+b+c<1/2, i que sent tots positius a,b,c <1/2, substituim 1/2 en tots els sumands positius*, i obtenim un nombre que és major que l'expressió donada:
1+1/8+1/2+1/8=7/4<2
*no podem substituir en els negatius ja que sabem que a<1/2, però si el que volem és restar, necessitariem trobar una fita superior. Exemple a-b, sabent que a,b<1, no podem afirmar res més enllà de a-b<1, en cap cas podrem dir que siga zero...
Utilizando AM-GM:
ResponderEliminar(a+1)(b+1)(c+1)≤[(a+b+c+3)/3]^3 < (7/6)^3 < 2
Tú siempre tan directo, Pablo...
ResponderEliminarLa meua estimació és més baixa, només puc afirmar amb seguretat que és menor que 7/4, però té l'avantatge que no cal recorrer a cap desigualtat prèvia.
ResponderEliminar(a+1)(b+1)(c+1)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc=
1+abc+a+b+c+((a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2)/2, i ara, sabent que a+b+c<1/2, i que sent tots positius a,b,c <1/2, substituim 1/2 en tots els sumands positius*, i obtenim un nombre que és major que l'expressió donada:
1+1/8+1/2+1/8=7/4<2
*no podem substituir en els negatius ja que sabem que a<1/2, però si el que volem és restar, necessitariem trobar una fita superior. Exemple a-b, sabent que a,b<1, no podem afirmar res més enllà de a-b<1, en cap cas podrem dir que siga zero...
jejeje, a partir de esta,te prometo explicarme mejor!!!!
ResponderEliminarEl método de Lluís también funciona, aunque obtiene una cota ligeramente peor, pero válida para el ejercicio.
ResponderEliminar