tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post7393618022512320540..comments2023-10-17T16:17:29.192+02:00Comments on Problemas Matemáticos: TriángulosProble Máticohttp://www.blogger.com/profile/13288566943895328911noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-2444987462115644722010-11-23T19:03:18.673+01:002010-11-23T19:03:18.673+01:00Respecte a la suma dels angles interiors d'un ...Respecte a la suma dels angles interiors d'un poligon convex de n costats, que el comentari anterior suposa (correctament) en (n-2)pi<br /><br />Dem: resulta senzill demostrar que la suma dels angles interiors d'un triangle és pi (un angle pla). Lamentablement no sé introduir dibuixos en els comentaris, i per tant, aquest lemma el deixarem per al lector...<br /><br />Resulta òbvi que es pot partir un poligon convex en n-2 triangles (uneix un vèrtex amb tots els altres, de la definició de convexitat cap segment entre vèrtex queda fora...)<br /><br />Es veu clar que la suma dels angles d'aquests triangles és igual a la suma dels angles del polígon. (es veu clar amb un dibuix)<br /><br />Per tant, queda provada la suposició de David...Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3074638824000650333.post-32222345817427473932010-11-23T11:41:15.812+01:002010-11-23T11:41:15.812+01:00Partimos de la base de que la suma de ángulos exte...Partimos de la base de que la suma de ángulos exteriores de un polígono solo depende del numero de lados.<br /><br />Empezamos por el menor, tenemos 4 ángulos que llamaremos A,B,C,D, al insertar los triángulos equiláteros en los lados, el ángulo será igual al complementario menos 60º por triángulo:<br />A=A => A’=360-120-A y sucesivamente por lo que sabemos que el total buscado será:<br /><br />A’+B’+C’+D’ = (360-120-A)+(360-120-B)+(360-120-C)+(360-120-D)<br />A’+B’+C’+D’ = 4•(360-120)-(A+B+C+D)<br />A’+B’+C’+D’ = 4•240-(A+B+C+D)<br /><br />De aquí obtenemos el factor 4, equivalente al numero de lados, que podemos generalizar a n<br />N’ = n•240-(A+B+C+D)<br />Faltaría saber la suma de ángulos de un polígono de n lados.<br />Sabemos que la suma para n=4 es 360, n=6 es 720 y n=8 es 1080, por lo que deducimos que es igual a 180•(n-2)<br /><br />N’ = n•240-(180•(n-2)) = 240n-180n+360 = 60n+360<br /><br />Ahora podemos aplicar los valores conocidos para n:<br /><br />f(n=4) = 60•4+360 = 240+360 = 600<br />f(n=8) = 60•8+360 = 480+360 = 840<br />f(n=1000) = 60•1000+360 = 60000+360 = 60360Unknownhttps://www.blogger.com/profile/09234396946776519284noreply@blogger.com