domingo, 20 de noviembre de 2011

Polinomio de grado 2010

Fase local de Cataluña de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Denotamos por S(n) la suma S(n) = 2010n2010 - 2009n2009 + ... + 4n4 - 3n3 + 2n2 - n.

Comprobad que el número T = S(1) + S(2) + S(4) + S(5) + S(6) + S(7) + S(8) + S(9) es positivo, y calculad la cifra de las unidades.

Solución

domingo, 13 de noviembre de 2011

En un país imaginario

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

En Torrelandia, a los condenados a muerte, se les ofrece una última oportunidad de salvar su vida.

Deben escoger una ficha de una urna en la que hay 55 fichas y dejarla sobre una mesa. Si su cara oculta es blanca, el condenado salvará su vida, mientras que si es negra, directamente se le lanza a una balsa con cocodrilos hambrientos.

En cierta ocasión, la urna contenía 16 fichas con ambas caras blancas, 25 fichas con una cara blanca y otra negra y 14 con ambas caras negras. El condenado extrajo una ficha y la colocó sobre la mesa, resultando que su cara visible era blanca.

¿Cuál era en ese momento la probabilidad de salvarse?

Solución

jueves, 10 de noviembre de 2011

Números grandes

Concurso de El Pais, septiembre de 2011

El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, pero por lo demás no hay ninguna restricción.

A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.

El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.

Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.

Solución

domingo, 6 de noviembre de 2011

Números en fila

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Se hace la siguiente lista de números: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Es decir, primero se coloca el primer entero positivo, después los dos primeros, después los tres, y así sucesivamente.

Determina qué número ocupa la posición 2011.

Solución

jueves, 3 de noviembre de 2011

El peso correcto

Fase provincial de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Tenemos tres balanzas equilibradas.

En una de ellas, una jarra equilibra el peso de una botella.

En otra, una jarra equilibra a una taza y su plato.

En la tercera, tres platos de los de taza equilibran dos botellas.

¿Cuántas tazas (sin plato) equilibrarán una jarra?

Solución