jueves, 30 de junio de 2011

Pirámide numérica

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Pirámide numérica

Pirámide numérica

Queremos construir una pirámide numérica con los números del 1 al 15, sin repetirlos, de forma que cada uno de ellos sea igual a la diferencia de los dos que tiene en el piso inferior.

Para ayudarte, hemos puesto ya unos cuantos.

En la cúspide estará el 5, sobre el 4 y el 9.

En la segunda fila, el 2 ocupa el extremo más próximo al 9, y en la fila más larga, en la base de la pirámide, el 6 está en el extremo más próximo a 4.

¿Serás capaz de colocar los que faltan?

Solución: próximamente

lunes, 27 de junio de 2011

Sistema de ecuaciones

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Halla todas las ternas (x, y, z) de números reales que son soluciones del sistema formado por las tres ecuaciones exponenciales siguientes:

3·2y - 1 = 2x + 2-x

3·2z - 1 = 2y + 2-y

3·2x - 1 = 2z + 2-z

Solución

sábado, 25 de junio de 2011

Partículas en colisión

Concurso de El Pais, junio de 2011

En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro.

Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras.

En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas.

Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas.

Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.

La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado.

Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo.

En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.

Solución

viernes, 24 de junio de 2011

Calculemos áreas

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Zonas sombreadas

Zonas sombreadas

Si el lado de todos los hexágonos interiores es de 3 centímetros, ¿cuánto miden las áreas sombreadas?

Solución

jueves, 23 de junio de 2011

La superficie del jardín

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Plano del jardín

Plano del jardín

En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada del instituto.

La zona sombreada, que está encerrada en uno de los cuatro cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 metros cuadrados y es la zona que está plantada ya de rosales.

El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie que ocuparán todos los rosales cuando esté acabado el jardín.

Calcula la superficie del jardín completo y también de la zona donde irán los rosales.

Solución

miércoles, 22 de junio de 2011

Una camiseta bordada en zigzag

Concurso de El Pais, junio de 2011

Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa.

b) La primera puntada empezará en el punto común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.

d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Se pregunta:

1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?

2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?

3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

Solución

lunes, 20 de junio de 2011

Las tres granjas

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

En tres granjas hay un total de 333 animales. En la primera granja hay el triple de animales que en la segunda y en la segunda, el doble que en la tercera.

¿Cuántos animales habrá que pasar de la primera granja a la segunda y a la tercera para que el número de animales en cada granja sea un número de tres cifras capicúa distinto?

Solución

domingo, 19 de junio de 2011

Buscando un número con muchos divisores (II)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Por si no lo sabes, hay una forma muy sencilla de calcular el número de divisores que tiene un número. Necesitamos conocer la descomposición en primos del número, por ejemplo, y por lo tanto, fijándonos en los exponentes de los primos que lo componen, tiene divisores.

Es decir, que sólo tenemos que sumar uno a todos los exponentes y multiplicarlos entre sí.

Usa esta información (y tu calculadora) para conseguir encontrar (o construir) el número entre 1000 y 2000 que tenga más divisores. ¿Necesitarás usar un único primo, dos primos, tres primos, ...?

Trata de probar con varias posibilidades, hasta que des con el campeón.

Solución

sábado, 18 de junio de 2011

Un cuadrado de coches

Concurso de El Pais, junio de 2011

Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5.

¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición?

En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.

Solución

jueves, 9 de junio de 2011

A partir de un único dato

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

En una clase el número de personas de piel clara está entre el 44% y el 47%.

Indica el menor número posible de personas que puede tener esa clase.

Solución

domingo, 5 de junio de 2011

Divisiones del rectángulo

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Rectángulo dividido

Rectángulo dividido

En un rectángulo de área 24, dividimos la base en tres partes iguales.

Unimos cada extremo con el centro del rectángulo, formando así tres triángulos, como en la figura.

¿Tienen la misma área los tres? ¿Qué área tiene cada uno de ellos?

Solución

viernes, 3 de junio de 2011

Pesando tornillos

Concurso de El Pais, mayo de 2011

Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una.

En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto.

Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?

Solución

jueves, 2 de junio de 2011

La cuenta

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

Anna, Josep y Paola van a un bar a comer. Después de pagar la cuenta, les sobran 24 euros y Paola le dice al camarero que se lo devuelva por separado de la siguiente forma: "A Anna la mitad de lo que sobra, a Josep la tercera parte y a mí la cuarta parte".

Después de hacer un rápido cálculo mental, el camarero le responde que no está de acuerdo ¿Sabrías decir porqué?

Solución

miércoles, 1 de junio de 2011

Resultados de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana

Este año, debido a la falta de tiempo que tengo, no he podido comentar como otros años los resultados de la fase comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, y tampoco he podido asistir a la fase provincial, en la que, lamentablemente no ha participado ningún alumno de mi centro, aunque sí varios conocidos míos y muchos alumnos de centros con los que mantengo cierta colaboración.

Quería ahora comentar los resultados de las fases provinciales de las tres provincias de la comunidad, ya que ahora se saben los nombres de los ocho alumnos por categoría (24 en total) que van a participar en la final de la Comunidad Valenciana, y quiero felicitarlos a todos.

En la categoría del tercer ciclo de primaria (categoría C), participarán, por la provincia de Alicante, Daniel Díaz Díaz, Pablo Gómez Toribio, Alejandro González Sánchez, Teresa Mondría Terol, Pablo Muñoz Candela, María Raquel Pérez Herrero, Gonzalo Pons Delgado y Adrián Sánchez Hernández. Quisiera destacar entre ellos a Teresa, que estudia en un centro adscrito al mío, por lo que probablemente estará entre nuestras alumnas el año que viene, y a Gonzalo, que es hijo de una de las profesoras de mi centro (y amiga mía).

De Valencia, Oscar Mercader Carrera, Ferrán López Guitart, Javier Poveda Rodrigo, Marina Juan Morales, Alejandro Capilla Seguí, Pepe Almodóvar Collado, Sara Vallejo Mengod y Pedro Enguídanos Ayala. Aunque no conozco a nadie de esa provincia, quería destacar que ninguno de ellos es de la capital (aunque sí del área metropolitana), y que nada menos que tres de ellos son de Godella, aunque casualmente de tres centros diferentes. También hay dos del mismo colegio, del CEIP Mas de Escoto, de Riba-Roja de Túria.

De Castellón, Pablo Domínguez Ortiz, Inés Garcerán Ayora, Adrián García Pitarch, Lara Gómez De Fez, Lucia Guardiola Sabater, Pedro Martinez Esteve, Rafael Montón Gómez y Lluís Pastor Pérez. Destacar que, en esta provincia y al contrario que en la de Valencia, todos proceden de la capital, Castellón, si bien todos de centros diferentes, excepto en dos pares de casos.

En la categoría del primer ciclo de secundaria (categoría A), participarán, por la provincia de Alicante, Álex Andrew Betson, Carlos Cano Mayor, David Chaparro Misó, Mar Ciscar Monsalvatje, Alejandro Espasa Ferrando, Pau García Córcoles, Mercedes Ortuño Lizarán y Alejandro Saiz Millán. De todos ellos sólo conozco a Alejandro, que hace el primer curso de Estalmat. A destacar que hay dos del mismo centro, IES Azud de Alfeitami, de Almoradí.

De Valencia, participarán Alejandro Martos Berruezo, Pepe Tatay Sangüesa, Marina Soler Lacruz, Tomás Terrizzano Cinosi, Álvaro Ruiz García, Guillem Miralles Gosálbez, Sergio Sancho Pórtoles y Enric Garrigós Mafé. De nuevo sólo conozco a uno, si no me equivoco: a Pepe, también de Estalmat, en este caso de segundo.

Por Castellón encontramos a Roger Arnau Notari, Álvaro Goterris Fuster, Alaá Moucharrafie Abdulsamad, Pablo Pérez Trufero, Iván Pinto Huguet, Marc Ramos Llorens, Ana Traver Viciano y Jaume Usó Cubertorer. A destacar los tres que proceden del mismo centro de Vilareal, el Broch i Llop, de los cuales uno, mi amigo Jaume, también pertenece al segundo curso de Estalmat.

En la categoría de segundo ciclo de secundaria (categoría B), por Alicante encontramos a Sebastián Andreu Hernández, Francisco David García Sáez, Ester Lobato Martínez, Alejandro Lorenzo MArtínez, Daniel Nieves Roldán, Laura Peña Queralta, Jorge Torrente Sánchez y Antonio Villaescusa Martín. De entre ellos destaco a Laura, que también fue premiada en la Olimpiada Española de Matemáticas en tercer lugar frente a estudiantes de bachillerato, aunque aún cursa tercero de ESO.

Por Valencia participarán Damià Torres Latorre, Miguel Camarasa Buades, Javier Rodríguez Domínguez, Pablo Oviedo Timoneda, Iván Labrandero García, Oriol Ruiz Catalán, José Manuel Fuentes López y Rubén Sancho Pórtoles. Pablo y Damià participan también en segundo de Estalmat.

Por Castellón, encontramos a Vicente Bosch López, Alfredo Delgado Miravet, Félix Hernández Ansuátegui, Irene López Chofre, Miguel Ruà Del Barrio, Alejandro Sánchez Aduna, Wen Yi Sun y Juan Vicent Camison. De nuevo encontramos a tres estudiantes del mismo centro, en este caso de La Plana de Castelló.

Mi enhorabuena a todos los participantes, ya sabéis que pienso que lo más importante es aprender de esta experiencia, y a los que habéis llegado hasta aquí, aprovechad la ocasión para aprender todavía más.

Además de los premios que puedan conseguir, tres de primer ciclo de secundaria irán a la Olimpiada Española de ese nivel.