lunes, 30 de mayo de 2011

Cuadriláteros en un octógono regular

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Cuadriláteros en un hexágono

Cuadriláteros en un hexágono

Usando como vértices los vértices de un hexágono regular sólo se pueden construir tres cuadriláteros propios (cuyos lados no se cruzan), que están representados en la figura, el de ángulos 90 – 90 – 90 – 90, el de 60 – 60 – 120 – 120 y 60 – 90 – 90 – 120. Los demás que puedas dibujar, haciendo un giro o una rotación, serían iguales a uno de los tres.

a)Usa octógonos regulares para encontrar todos los cuadriláteros diferentes que puedes trazar usando sus vértices como vértices del cuadrilátero. ¿Cuántos hay?

b) Usando el arco central, que siempre tiene un ángulo doble al inscrito, indica los ángulos de sus vértices.

Solución

sábado, 28 de mayo de 2011

Rellenar con piezas un tablero

Concurso de El Pais, mayo de 2011

Piezas del rompecabezas

Piezas del rompecabezas

Tenemos un tablero cuadrado de 9x9=81 casillas iguales y 20 piezas idénticas que forman una "S" o una "Z", según hacia donde se gire.

Se trata de ir poniendo piezas en el tablero en cualquier posición, como en un puzzle, con el objetivo final de cubrir el mayor número de cuadrados posible, o lo que es lo mismo, dejando vacíos el menor número de cuadrados posible. Cada cuadrado de la pieza ocupa exactamente un cuadrado del tablero y las piezas no se pueden solapar.

¿Cuál es el menor número de cuadrados que pueden dejarse vacíos en el tablero al recubrirlo con este tipo de piezas?

Nota: Las piezas son reversibles, es decir, podemos invertirlas y girarlas.

Solución

jueves, 26 de mayo de 2011

Buscando un número con muchos divisores (I)

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Por si no lo sabes, hay una forma muy sencilla de calcular el número de divisores que tiene un número. Necesitamos conocer la descomposición en primos del número, por ejemplo, 60 = 223151 y por lo tanto, fijándonos en los exponentes de los primos que lo componen, tiene (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3*2*2 = 12 divisores.

Es decir, que sólo tenemos que sumar uno a todos los exponentes y multiplicarlos entre sí.

Usa esta información (y tu calculadora) para conseguir encontrar (o construir) el número menor de 1000 que tenga más divisores.

¿Necesitarás usar un único primo, dos primos, tres primos, ...?

Trata de probar con varias posibilidades, hasta que des con el campeón.

Solución

martes, 24 de mayo de 2011

Resultados de la Canguro

Quería dedicar una entrada a comentar que ya podéis consultar los resultados de la prueba canguro en todas las zonas que conozco. En la correspondiente a la parte castellano parlante (organizada desde Valladolid), podéis mirar los premios en la página oficial, mientras que de la zona de habla catalana, está dividida en la Comunidad Valenciana, la Balear y Cataluña.

Paso a comentar algunos resultados que me han llamado la atención. En el nivel 1º de ESO, el primer premio se ha dado con nada menos que 138 puntos a Marcos García Fierro, del Colego Maristas de Salamanca. Seguro que oiremos hablar más de este chico en el futuro. También han quedado muy bien clasificados Germán Alonso Devesa, de Burgos, Roberto Atienza Serrano, de Soria, César Acebes Pinilla, de Palencia, Héctor Calduch Ortiz de Saracho, de Alicante, y Alejandro Torres Sancho, de Salamanca. Por supuesto, tras ellos hay un montón de premiados a escasa distancia, pero quería mencionarlos.

En el nivel de 2º de ESO, el primer premio ha recaído en Marcos Narro Asensio, del IES Montes Obarenes, de Miranda del Ebro, Burgos, aunque sólo ha conseguido 119 puntos. Tras él, se sitúan Maria Lydia Juan Guil, de Orihuela, Alicante, MArta Carrizo Vaqué, de Lérida, Alejandro Martos Berruezo, de Valencia, César Díez Factor, también de Lérida, y una larga lista de premiados.

En el nivel de 3º de ESO podemos comparar las pruebas en castellano y catalán, puesto que aquí sí se llevan a cabo en ambas zonas, y encontramos, en la prueba en castellano, a Ivan Pazo Pérez, del IES Eduardo Blanco Amor, de Orense, que obtuvo 133 puntos, Jorge Aguarón de Blas, de Zaragoza, Antonio Flórez Gutiérrez, de Valladolid, Aitor Rodríguez González, de Orense, Pablo González Prieto, de Lérida, y Víctor Buitrón Hervás, de Palencia.

En la prueba en catalán, en las islas Baleares, Rafel Perelló Ribas del IES Sineu, Sineu , que ha obtenido 132,5 puntos, seguido de Álvaro Malo García (Maó), Nicolás Ferrer Forteza-Rey (Palma), Bartomeu Costa Prats (Sant Antoni de Portmany ) y Miquel Serra (Santanyí).

También hay premiados en Cataluña, con la mejor puntuación de España, Josep Maria Gallegos Saliner (Institut Ramon Muntaner, Figueres), con 146.25, y seguido de Pau Mir Garcia (Sant Quirze del Vallès), Laura Roigé Foix (Barcelona), Arnald Morató Gutiérrez (La Garriga), Inés Franch López (Barcelona), Miquel Villalba Castells (Vilafranca del Penedès), Jordi Borrell Vives (Falset). Debo citar que las puntuaciones de todos ellos han sido sorprendentemente altas.

En la Comunidad Valenciana, encontramos como primer clasificado a Damià Torres Latorre (IES Guadassuar, Guadassuar), con 131,25 puntos, seguido de Alejandro Palacios Membrilla (Almassora), Alberto Núñez Delgado (Castelló de la Plana), Javier Ruiz Ros (Meliana), Andrés Alarcón Galera (Almassora) y Carlos Salom García (Castelló de loa Plana-Grau).

En 4º de ESO encontramos, en la prueba en castellano a Víctor Onecha Vallejo, del IES Victorio Macho, de Palencia, que alcanzó 107,25 puntos. Detrás quedan David Díez Ibáñez, de Zaragoza, Pablo Lorenzo Vaquero y Alberto Gimeno Sanz, de Valladolid, Jacobo González Baldonedo, de Orense, Sara García Mayo, de Valladolid, María Ruiz Barberá, de Alicante, Sen Mao Ji Ye, de Valladolid, y Moreno Ontoria, Ángel, de Burgos.

La prueba en catalán de 4º de ESO, ha contado en las islas con un primer premio para Xim Tomàs Ferrer, del IES Felanitx, de Felanitx, que ha obtenido 116 puntos, seguido de Enric Martorell Pons, (Palma), Joan Danús Jaume (Artà), Jorge Gómez Marco (Palma), Màxim Mir Ferrer (Palma), Francesc Valls Mascaró (Pollença) y Maria Neus Muntaner Estarellas (Sóller).

En Cataluña, de nuevo con la puntuación más alta, Matt Hoogsteder Riera (Institut Pere Alsius i Torrent, Banyoles), con 143.75 puntos, seguido de Pol Paniagua Seriols (Barcelona), Marc Felipe Alsina (Girona), Maria Miró Español (Barcelona), Andrés Girona San Miguel (Barcelona), David Folqué Garcia (Sant Vicenç dels Horts), Daniel Reverter Condal (Barcelona), Arnau Canyadell Miquel (Manresa), Aina Fitó Parera (Igualada) y Isidre Puigmitjà Rodoreda (Banyoles). Todos ellos con puntuaciones sensiblemente mayores.

En la Comunidad Valenciana, encontramos a Pablo Rodrigo Ocampo (IES Francesc Ribalta, Castelló de la Plana), con 138,75 puntos, seguido de Jorge Millas Calomarde (València), Guillermo Martínez López (València), Daniel Nieves Roldán (Orihuela), Francisco Javier Calderón Lucas (Benidorm) y Juan Vicent Camisón (Castelló de la Plana). También las puntuaciones son altas, aunque no tanto como las catalanas.

Ya en bachillerato, en la prueba en castellano el campeón es Enrique Jiménez Izquierdo, del IES Villa del Moncayo, Ólvega (Soria). Le siguen Marta Andrés Arroyo, de Zaragoza, Andrés Ignacio Pérez López, de Segovia, Jorge del Castillo Tierz, de Zaragoza y Ana Isabel Suárez Rodríguez, de La Coruña.

En Baleares, la mejor puntuación es para José Francisco Díaz Armesto, del CC Virgen del Carmen (Palma), con 102,5 puntos, seguido de Mónica Salgado Rodrigo (Palma), Marc Nuñez Corbacho (Sant Jordi de Ses Salines) y Feng Ma (Palma).

En Cataluña, tenemos a Darío Nieuwenhuis Nivela (Aula Escuela Europea, Barcelona), ganador con la impresionante puntuación de 135 puntos, seguido de Guillem Lahuerta Camps (Barcelona), Dídac Surís Coll-Vinent (Vilassar de Dalt), Eduardo Adamo Atao Salazar (Terrassa), Marc Soley Fernández (Palau-solità i Plegamans) y Eric Milesi Vidal (Barcelona).

En la Comunidad Valenciana, ha ganado Oscar Roldan Blay (IES Fancesc Ferrer i Guardia, València), con 131,25 puntos, seguido de Roberto Alegre Usach (Villar del Arzobispo), Jaime Ferrer Velasco (Castelló de la Plana) y José Luis Pérez Martinez (València).

Por último en el segundo curso de bachillerato, en la competición en castellano ha ganado Miguel Pírez Bustamante, de IES Condesa Eylo Alfonso, de Valladolid, con 88 puntos, segido de Estela Sanz Horcajo, de Segovia, Javier Espinilla Magdaleno, de Valladolid, Alfonso Lanuza García, de Soria, Jorge Alda Gallo y Oliva Maza, de Zaragoza ambos.

En las islas, ha ganado Rafael Eusebio López Martínez, del CC Sant Josep Obrer I (Palma), con 115 puntos, quedando detrás Yeray Vivó Valls (Palma), Miquel Hernández Nicolau (Palma) y Mª Francesca Font Picó (Palma).

En Cataluña, ha ganado Eduard Vázquez Espín (Institut de Pallejà, Pallejà), con 105.75 puntos, seguido de Adrià Balcázar Castell (Barcelona), Petar Hlad (Barcelona) y Víctor Bustillo Ballester (Barcelona).

Y en la Comunidad Valenciana, Diego Monserrat López (IES La Plana, Castelló de la Plana), ha ganado con 98,25 puntos, quedando segundo un viejo conocido de los seguidores de la página, Jorge Peña Queralta (Benidorm), Rafael Borrás Pernas (Castelló de la Plana), Juan Falomir Ortí (València) y Oscar Miguel Escrig (Castelló de la Plana).

Hay que hacer notar que las puntuaciones sólo se deben tener en cuenta a título relativo, ya que no en todos los niveles se presenta la misma cantidad de gente, y las preguntas tampoco son igual de difíciles para los concursantes.

domingo, 22 de mayo de 2011

Rutas en avión

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Rutas entre ciudades

Rutas entre ciudades

El siguiente dibujo representa una serie de vuelos de una compañía aérea entre diferentes ciudades de un país. Queremos encontrar una ruta para un amigo entre Bajo y Alto que le obligue al menor número de transbordos posibles.

Encuentra una de las rutas con menos trasbordos, razonando que no puede existir una ruta con menos.

Escribe una lista con todos las rutas que tenga ese número de trasbordos.

Solución

sábado, 21 de mayo de 2011

Una enorme potencia de 2

Concurso de El Pais, mayo de 2011

Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301.

Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.

Solución

viernes, 20 de mayo de 2011

Los ascensores

Fase comarcal de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

En un rascacielos de 100 pisos hay dos ascensores. El ascensor A tarda medio segundo en subir cada piso, y el mismo tiempo en bajar. El otro ascensor, el B, tarda 0,6 segundos en subir un piso, pero su velocidad de descenso es mayor, y sólo tarda 0,3 segundos por piso.

En el comienzo de nuestro problema, el ascensor A está en el piso 0, y el B en el piso 80. A continuación, suceden los siguientes acontecimientos en el tiempo que aparece indicado:

Durante 24 segundos, A sube y B baja.

Durante 12 segundos, A baja y B sube.

Durante 15 segundos, A sube y B baja.

Durante 3 segundos, A baja y B sube.

Durante 15 segundos, A sube y B baja.

Indica dónde está cada ascensor después de cada movimiento, y cuántas veces se cruzan en total.

Solución

miércoles, 18 de mayo de 2011

Convocatoria Estalmat 2011

Como todos los años por estas fechas, llega la convocatoria de Estalmat, en esta ocasión la del curso 2011.

Estalmat es un programa que se lleva a cabo los sábados, con gente de toda la comunidad autónoma a la que le gustan las matemáticas.

En mi caso, me refiero a la comunidad valenciana, en España, pero proyectos con el mismo nombre se llevan a cabo en la práctica totalidad de España, y en otros países, con nombres diferentes.

El sábado 4 de junio es la prueba de selección, así que si tenéis un conocido de 11 ó 12 años (nacido en el 98 o en el 99) al que le gusten las matemáticas, avisadle.

Difunde esta información a todos tus conocidos, para que no quede nadie sin avisar. En el enlace (página oficial de Estalmat) podéis encontrar más detalles.

Hay un folleto para descargar, que puedes encontrar en el siguiente enlace. Para inscribirte, debes rellenar el formulario antes del día 29 de mayo.

Las pruebas son en las sedes de las universidades implicadas, puedes inscribirte en cualquiera de ellas.

lunes, 16 de mayo de 2011

Una función natural

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Se construye una función f sobre los números naturales (a partir del 1) que cumple las siguientes tres características, para cualquier valor n:

a) f(1) = 1

b) f(2n + 1) = f(2n) + 1

c) f(2n) = 3f(n)

Encuentra:

f(7)

f(8)

f(12)

Encuentra qué número tendrá por imagen de f el 27.

¿Qué número dará 30 de resultado?

¿Habrá alguno que dé 29? Razona tus respuestas.

Solución

sábado, 14 de mayo de 2011

Un cubo de suma cero

Concurso de El Pais, mayo de 2011

A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.

¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.

Solución

viernes, 13 de mayo de 2011

El área de un cuadrilátero

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Cuadrilátero dividido

Cuadrilátero dividido

Un cuadrilátero como el de la figura se divide en cuatro partes con las dos diagonales. En el interior de cada área está indicada el área de la misma en centímetros cuadrados (15 y 7 para dos de los triángulos enfrentados, y 5 en otro), excepto en una ¿puedes calcular el área de todo el cuadrilátero en las mismas unidades?

Solución

domingo, 8 de mayo de 2011

Tres propiedades, un número

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010 (final)

Encuentra el mayor número de seis cifras que cumpla las siguientes características simultáneamente:

Todas sus cifras sos distintas

Sus cifras suman exactamente 23

Es múltiplo de 5

Solución

sábado, 7 de mayo de 2011

Un piano gigantesco

Concurso de El Pais, abril de 2011

Disponemos de un piano gigantesco en el que tocamos el primer Do, luego la siguiente nota (el Re), a continuación saltamos una y tocamos el Fa, luego saltamos dos y tocamos el Si, luego saltamos tres... y así hasta pulsar 7.000 teclas.

¿Cuántas veces tocaremos la nota Do (no importa en qué escala)?

¿Habrá alguna nota que no suene nunca en esta larguísima sinfonía?

Solución

jueves, 5 de mayo de 2011

Paralelepípedo con agua

XVI Olimpiada de Mayo (2010)

Paralelepipedo con agua

Paralelepipedo con agua

Un recipiente cerrado con forma de paralelepípedo rectángulo contiene 1 litro de agua.

Si el recipiente se apoya horizontalmente sobre tres caras distintas, el nivel del agua es de 2 cm, 4 cm y 5 cm.

Calcula el volumen del paralelepípedo.

Solución

lunes, 2 de mayo de 2011

Calamares extraterrestres

V Concurso IES Miguel Hernández, 2010

Los calamares ordosianos son una especie alienígena de gran valor, muy requerida por su extraordinario sabor, pero muy cara de mantener contenta.

Es importante calcular con precisión la cantidad para su crianza, ya que suelen tener un gran valor pero no podemos venderlos sin una licencia especial que concede la Sociedad de Granjeros Alienígenas Extraños, de forma que no podemos permitir que críen sin control, porque luego habría que mantenerlos a costa de nuestro dinero (ni pensar en dejar morir a unos cuantos: se solidarizan con ellos y su carne deja de tener el extraordinario sabor que nos tiene encandilados).

El caso es que cuando dispones de una manada de calamares ordosianos, en número suficiente, se reproducen. Una vez a la semana, con absoluta precisión. Siempre tienen un número de crías equivalente al 40% de la población. Se ha discutido mucho acerca de si esto demuestra o no la inteligencia de estas criaturas (parece que saben calcular porcentajes), pero aún no hay pruebas definitivas, y tampoco nos interesa, debido a su extraordinario valor culinario.

¿Qué pasa si el 40% no es un valor entero? Muy sencillo, entonces se tiene el mayor número posible por debajo del 40%. Es decir, nunca supera el número de crías el 40%.

Al cabo de un par de días, las crías están listas para ser contadas como adultas en el próximo ciclo reproductivo.

Por otra parte, una vez a la semana, los calamares ordosianos parecen tener la fea costumbre de elegir al 30% de entre ellos para el suicidio. Los que fallecen así no se pueden comer, pues suelen dejarse morir de hambre. De nuevo eligen al 30% exactamente, si la cifra no es exacta, eligen un valor que no supere el 30%.

El caso es que necesitamos una manada que nutra a un restaurante que necesita exactamente 134 calamares ordosianos por semana, pero de forma que esa cantidad de calamares ordosianos se mantenga estable, no aumente ni disminuya. ¿Cuántos debemos adquirir a la sociedad antes nombrada?

Explica detalladamente los cálculos que has hecho.

Solución