domingo, 27 de febrero de 2011

Sumando 4 o 7

Problema de selección para el Mathcamp (2010)

Considera el siguiente juego para dos jugadores: Empezando desde el cero, cada jugador en su turno suma 4 o suma 7 al resultado que el otro jugador haya obtenido.

Si el resultado que consigue un jugador en su turno acaba en dos ceros (es decir, es múltiplo de 100), el jugador gana.

Asumiendo que ambos jugadores saben razonar, ¿hay una estrategia para que alguno de los dos gane el juego, o puede este juego continuar indefinidamente?

Si existe una estrategia, decide si es mejor empezar el juego, o dejar empezar al rival, y cuál debe ser la cadena de movimientos que hay que realizar para ganar.

Solución

jueves, 24 de febrero de 2011

Números perdidos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Encuentra tres números de 3 cifras, sabiendo que no tienen ninguna cifra igual, que el segundo número es el doble del primero, y que el tercer número es el triple del primero.

Solución

domingo, 20 de febrero de 2011

Ternas que dividen a la suma

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Halla todas las ternas de números enteros positivos a ≤ b ≤ c primitivas (es decir, que no tengan ningún factor primo común) tales que cada uno de ellos divide a la suma de los otros dos.

Solución

jueves, 17 de febrero de 2011

Familia de funciones enteras

Problema de selección para el Mathcamp (2010)

Sean r y s dos enteros positivos. Sea F una función del conjunto de todos los números enteros positivos {1, 2, ...} en sí mismo que reúne las siguientes propiedades:

a) Si dos números n y m son diferentes, entonces F(n) es diferente de F(m).

b) Para todo valor n existe un valor m tal que F(m) = n.

c) Para todo valor n, o bien F(n) = n + r, o bien F(n) = n - s.

Responde a las siguientes cuestiones:

1) Si r = 5 y s = 8, ¿qué vale F(2010)?

2) Encuentra, demostrando que es cierto, el valor k más pequeño que verifica que al aplicar la función F k veces obtenemos la identidad, es decir, que F(F(...F(n))...) = n para cualquier valor n, donde aparece repetida k veces la F y los correspondientes paréntesis. La respuesta, por supuesto, dependerá de r y s.

Solución

domingo, 13 de febrero de 2011

Tres problemas de la canguro (II)

Tres problemas de la competición canguro 2010, nivel 2º ESO

Están seleccionados de los tres niveles (3 puntos, 4 puntos y 5 puntos). Como es una competición contra reloj, deben emplearse a lo sumo 7 minutos y medio en los tres.

1.- Mateo y Clara viven en un rascacielos. Clara vive 12 pisos por encima de Mateo. Un día, Mateo sube por las escaleras a visitar a Clara. Cuando llega a la mitad de su camino está en el 8º piso. ¿En qué piso vive Clara?

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 20

2.-¿Cuál es el valor del número romano MCDXLIX?

a) 1449

b) 1649

c) 1749

d) 10809

e) 115159

3.- Si x, y, z son enteros positivos tales que xy = 18; xz = 3, yz = 6, ¿cuál es el valor de x+y+z?

a) 6

b) 10

c) 25

d) 11

e) 8

Solución

viernes, 11 de febrero de 2011

Fruta de verano

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Cuatro sandías y tres melones pesan 15 kg., tres sandías y cuatro melones pesan 13 kg.

¿Cuánto pesa cada sandía y cada melón?

Solución

martes, 8 de febrero de 2011

Resultados locales de la 47 OME

Como todos los años por estas fechas, se ha hecho público ya el resultado de la Olimpiada Española de Matemáticas en su fase local de Alicante, y de nuevo los alumnos de mi centro, el IES Miguel Hernández de Alicante, han conseguido un buen resultado, aunque no tan bueno como el del año anterior.

En los cuatro años que he acompañado grupos de alumnos, siempre han logrado algún premio, aunque este año debo decir que en gran parte, este año se lo debemos al IES San Blas, ya que Elena San Miguel Pérez ha cursado sus estudios allí hasta este mismo año, en el que ha acudido a mi centro para cursar 2º de bachillerato en el nocturno. Mi más sincera felicitación a Elena, que ha quedado en segunda posición.

Por supuesto, no quiero olvidar felicitar al primer clasificado, Zhipei Zheng, del IES 8 de Marzo. Los que me conocen saben que trabajé en ese centro antes que en el que me encuentro, aunque dudo que haya llegado a influir de alguna forma este resultado, más allá de la información que les he aportado. Seguro que este buen resultado hace que en el futuro veamos más alumnos de ese centro presentándose a las pruebas.

También es para mí un honor felicitar al tercer clasificado, Gabriel Barrillet Mira, del IES Clot de L'Illot, de El Campello. Sé que conoce este blog y espero que la lectura le haya inspirado para este logro.

Por supuesto, quiero hacer extensiva mi felicitación a todos los participantes, ya que presentarse a este concurso requiere hacer un gran esfuerzo, tanto en su preparación como durante el concurso en sí mismo, puesto que la prueba es muy dura si no estás acostumbrado.

Este año, la fase nacional de la OME se desarrolla en Pamplona, del 24 al 27 de marzo, de la que, como viene siendo habitual, tampoco han anticipado gran cosa.

Como también me tienen acostumbrado, el resto de la representación del IES Miguel Hernández hicieron a mi juicio un buen papel, quedando Ramón Ausina Poüs y Florencia García Castro empatados en una honrosa cuarta posición, Laura Pardo en sexta, Julen Rebollo en octava, Isabel Granados en decimoprimera, Sara Martínez en decimotercera, y Daniel Torregrosa en decimocuarta posición (los últimos cuatro pueden volver a intentarlo el año que viene, porque sé que pueden mejorar mucho su resultado).

También de nuevo, por diferentes causas, no pudieron presentarse todos los alumnos a los que nosotros, desde el centro, habíamos animado a hacerlo. Insistimos en que lo hagan en otra ocasión, ya que resulta una prueba muy interesante y el premio es importante.

En cuanto a los participantes de otros centros, quisiera destacar al alumno Carlos Climent Forner, del Colegio Maristas de Alicante, que ha empatado con Ramón y Flor en la cuarta plaza. De su centro acuden también Borja Climent Monfort (5º) y Belén Llopis Mengual (6º). Creo que todos ellos pueden volver a intentarlo el curso que viene. Como todos los años, este centro suele hacer un buen papel.

El IES Figueras Pacheco, que se ausentó el curso pasado, participó con dos estudiantes, Jordi Llopez Marti (5º) y Luis Olivas Marcos (9º).

El IES Jorge Juan de Alicante, de nuevo participó con un estudiante que vuelve a presentarse, Miguel Ángel Fuentes (séptima posición).

No recuerdo haber visto participar antes a ningún alumno del IES Bahía de Babel en esta competición, que este año ha participado con Ángel Prieto de la Cruz (7º). Espero que no sea la última vez.

Del IES San Blas de Alicante, donde estudió Elena, la segunda clasificada, los últimos cinco años, también han participado Gonzalo Cuélliga (8º), Irene Navarro (9º), Miriam García (10ª) y Caludia Gaso (12ª).

Del IES 8 de Marzo, de donde procede el primer clasificado, también han participado Juan Carlos Esteve (8º), Guillermo Rodríguez y Andrea Torres (empatado en 13ª posición) y Enrique Blay (14º).

Del IES Clot de l'Illot, como el tercer clasificado, vino Carlos Planelles, que quedó decimocuarto.

Y del colegio Inmaculada Jesuitas, Guillermo José Centelles, que ocupó la plaza decimoquinta.

Observaréis que hay varias plazas repetidas, debido a los empates. Este año vuelvo a notar la ausencia de participantes de numerosos centros que en otras ocasiones han enviado concursantes, aunque también he destacado a aquellos centros que nunca habían enviado y ahora sí participan. Espero que los ausentes vuelvan a participar en futuras ediciones.

Si queréis que hable de los resultados en otras zonas de España, dejad un comentario y algún enlace, y citaré a los premiados, al menos.

Aún no conozco los resultados de la Universidad Miguel Hernández, de Elche, pero espero que los publiquen pronto.

domingo, 6 de febrero de 2011

Entero o irracional

Fase local de la XLVII Olimpiada Matemática Española, 2010/11

Sean n1 y n2 dos números naturales. Demuestra que la suma √(n1) + 3√(n2) es un número entero o un número irracional.

La expresión √(n1) + 3√(n2) significa la raíz cuadrada del primero de los números más la raíz cúbica del segundo.

Solución

jueves, 3 de febrero de 2011

Cuatro puntos

Fase autonómica de la XXI Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2010

Área sombreada

Dibuja en tu cuaderno cuatro puntos de manera que al unir con líneas dos cualesquiera de ellos se obtengan solamente dos tamaños diferentes de segmentos.

En la figura tienes una de las seis soluciones. Trata de obtener las otras cinco.

Interesa que expliques, en cada caso, los pasos que has dado para obtener los cuatro puntos.

Solución

martes, 1 de febrero de 2011

Tres problemas de la canguro

Tres problemas de la competición canguro 2010, nivel 1º ESO

Están seleccionados de los tres niveles (3 puntos, 4 puntos y 5 puntos). Como es una competición contra reloj, deben emplearse a lo sumo 7 minutos y medio en los tres.

1.- Sabiendo que Δ + Δ + 6 = Δ + Δ + Δ + Δ, ¿Qué número está representado por Δ?

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

2.- ¿Cuál de las expresiones siguientes tiene un valor diferente a las demás?

a) 20*10 + 20*10

b) 20/10*20*10

c) 20*10*20/10

d) 20*10 + 10*20

e) 20/10*20 + 10

Móvil

Móvil

3.- La figura representa un móvil en equilibrio. Sin contar el peso de las barras horizontales y el de los hilos, el peso del móvil es 112 gramos. ¿Cuál es el peso en gramos de la estrella?

a) 7

b) 6

c) 12

d) 14

e) 16

Solución