domingo, 29 de agosto de 2010

Conjuntos de impares

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, 2010

Sea In el conjunto de los n primeros números naturales impares.

Por ejemplo: I3 = {1, 3, 5}, I6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, etc.

¿Para qué números n el conjunto In se puede descomponer en dos partes (disjuntas) de forma que coincidan las sumas de los números en cada una de ellas?

Solución

jueves, 26 de agosto de 2010

Cuadrado y triángulo

Fase provincial de Castellón de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Triángulo dentro de un cuadrado

Triángulo dentro de un cuadrado

En el interior de un cuadrado de lado 1 se traza un triángulo equilátero de forma que uno de sus vértices está sobre uno de los del cuadrado, y los otros dos sobre los lados que tienen el vértice contrario del cuadrado en común.

Averigua el área del triángulo.

Solución

martes, 24 de agosto de 2010

Preparar la Olimpiada Matemática: Bibliografía

Varios alumnos, y algunos visitantes de este blog me han preguntado repetidas veces por los títulos de libros que deben usar para leer, y el tipo de matemáticas que deben preparar para presentarse a los concursos de Olimpiada Matemática. En colaboración con mi amigo Pablo Ruiz Pianelo hemos preparado una entrada para responder a esas dudas, y que nos sirva de guía para preparar a futuros concursantes.

Esta entrada va dirigida a concursos de nivel Bachillerato (16-18 años), aunque muchos aficionados menores que tengan un nivel avanzado pueden seguir los consejos que vamos a dar. También aficionados a los problemas de matemáticas que ya han pasado esta edad pueden encontrar gratificante esta guía, sobre todo si quieren ayudar a futuros concursantes.

En primer lugar, debo decir que la mejor forma aprender a resolver problemas es leyendo problemas resueltos, y descubriendo las estrategias que emplean, las afirmaciones que se pueden dar por supuestas y cosas así. Tal vez el mejor libro que se puede leer que teoriza sobre la resolución de problemas es el de G. Polya, Cómo plantear y resolver problemas.

Los problemas de la categoría que nos ocupa se suelen plantear dentro de los siguientes bloques temáticos:

- Álgebra (Ecuaciones y ecuaciones funcionales)

- Álgebra (Inecuaciones)

- Variable entera (Ecuaciones diofánticas, divisibilidad)

- Probabilidad y Combinatoria

- Geometría

- Problemas diversos.

Generalmente se evitan todos los apartados relacionados con el cálculo infinitesimal (óptimos generalizados, derivación, integración, áreas generalizadas,...) ya que en muchos países este tipo de materia se suele cursar en niveles universitarios.

Muchos de los libros que se van a citar pueden ser encontrados, de formas más o menos extrañas, en formato que permite su lectura en un ordenador o en un libro electrónico, aunque también se suelen poder adquirir en formato papel para su disfrute.

Los primeros que voy a aconsejar son dos libros de problemas resueltos del nivel, con listado de conocimientos básicos utilizados para su estudio. Aunque ambos contienen algún error, su lectura nos da numerosas ideas.

El libro 10 Olimpiadas Iberoamericanas de Matemática expone problemas de esta olimpiada. Editado por la OEI.

El libro Manual de matemáticas para preparación olímpica, editado por la UJI, también es fácil de localizar, y contiene mucho material teórico y bastantes ejemplos de problemas para resolver.

Más modesto es Olimpiada Matemática Distrito Universitario de Valencia, de Rafael Pérez Fuentes, que no sé si se podrá adquirir todavía.

Yo aprendí en su momento con el Olimpiadas Matemáticas de Samuel L. Greitzer, aunque imagino que será difícil de conseguir.

Hay una referencia bibliográfica muy completa en la revista de la olimpiada iberoamericana de matemáticas (que de por sí es una lectura bastante recomendable), escrita por Francisco Bellot. Muchos libros puede que estén disponibles en bibliotecas universitarias o a la venta por Amazon u otros servicios.

Los siguientes libros los recomienda Pablo Ruiz por haberlos usado en su preparación.

Problemas de Geometría y Planimetría, de I. Shariguin. Una increíble cantidad de problemas de geometría con dos niveles. En el nivel superior hay diversos resultados importantes.

Resolución de ecuaciones en números enteros. A. O. Guelfond (apenas tiene 60 hojas creo recordar, pero trata de un tema muy importante en las olimpiadas: Ecuaciones Diofánticas).

Y en inglés también ha hecho una relación muy completa.

102 Combinatorial Problems by Titu Andreescu and Zuming Feng

103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu and Zuming Feng

104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team by Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Zuming Feng

Complex Numbers from A to ...Z by Titu Andreescu and Dorin Andrica

Mathematical Olympiads 1998–-1999: Problems and Solutions from Around the World (MAA Problem Book Series) by Titu Andreescu and Zuming Feng (de este tipo tiene bastantes)

The IMO Compedium, este tiene resueltas todas las imo's de 1959 hasta 2004. Mathematical Olympiad in China, Xiong Bing, Lee Peng Yee. Con el esquema de problemas-solución.

En general todos los libros de Titu Andreescu están muy bien, con una gran cantidad de problemas y soluciones. Se pueden encontrar en Amazon y supongo que en algún sitio más. Además, en la editorial MIR rusa podemos encontrar numerosos libros muy interesantes.

Si mis lectores comentan libros interesantes, puede que haga más artículos de este tipo recopilándolos.

lunes, 23 de agosto de 2010

La edad de la abuela de María

Fase provincial de Valencia de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

La abuela de María tiene una edad que es tal que si la elevamos al cuadrado y el resultado lo volvemos a elevar a la cuarta, a este último resultado le realizamos la raíz cuadrada y para acabar lo dividimos por los años que tiene la abuela de María, entonces, obtenemos un número de seis cifras que comienza por 3 y acaba en 8.

¿Cuántos años tiene la abuela de María?

Solución

jueves, 19 de agosto de 2010

Torre de cubos

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Torre de cubos

Torre de cubos

Con cubos de un metro de arista construimos torres como la que te mostramos. (Observa que ésta tiene cuatro pisos, pero las podemos construir de cualquier número de pisos).

Observa que la construcción se apoya siempre en conjuntos de cubos más numerosos, y que si quitas el piso inferior se queda una torre de un piso menos.

Queremos pegar pegatinas en las caras visibles de los cubos, es decir, que no estén tapadas por otro cubo ni estén apoyándose en el suelo.

a) Según la cantidad de pisos que tenga la torre podremos pegar un número determinado de pegatinas. Completa la siguiente tabla:

Número de pisos 1 2 3 4 5 6

Número de pegatinas que es posible pegar

b) ¿Qué altura tendrá que tener la torre para colocar 180 pegatinas?

c) ¿Podrías encontrar una formula que relacione que el número de caras visibles y los pisos de la torre?

Solución

domingo, 15 de agosto de 2010

Un número de cuatro cifras

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Averigua qué números de cuatro cifras [abcd] (con a distinto 0), son iguales a [ab]2 + [cd]2 − [cd].

Se debe entender el número [xyz] como el formado por las cifras x, y y z, es decir, los tres son números enteros entre 0 y 9 y z representa unidades, y decenas y x centenas, en este caso.

Solución

viernes, 13 de agosto de 2010

Suma nueves

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Consideramos el número S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 9999...9999, siendo el último sumando un número escrito con 99 nueves en la base decimal habitual.

Determina la suma de los dígitos del número S.

Solución

lunes, 9 de agosto de 2010

Las bicicletas

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Nueve amigos se compran una bicicleta cada uno.

Por una parte, sabemos que la media aritmética del precio de ocho de las bicicletas es de 82€.

Por otra, sabemos que la bicicleta que nos falta cuesta 64€ más que la media aritmética de todas las bicicletas.

¿Cuánto cuesta esta última bicicleta?

Solución

jueves, 5 de agosto de 2010

De celebración

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Los alumnos de sexto de primaria de un colegio fueron a celebrar el final de curso a un restaurante. Pidieron en total 65 platos que compartieron de la siguiente manera: los platos de ensalada los compartieron cada 4, las pizzas cada 3 y los postres cada 2.

¿Podrías averiguar cuántos estudiantes fueron a la comida?

Solución

domingo, 1 de agosto de 2010

Una ecuación complicada

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Calcula las soluciones reales de la ecuación siguiente:

(1729 - x)(1/3) + x(1/3) = 19

(En realidad, se trata de que las sumas de las raíces cúbicas de 1729 - x y x dé 19)

Solución