jueves, 29 de julio de 2010

El gran producto

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

¿Podrías decir en qué cifra acaba el producto 327653*779578?

(Por si no se ve bien, se trata de 3 elevado a 27653 por 7 elevado a 79578)

Solución

martes, 27 de julio de 2010

Nueva página de problemas

En esta ocasión uso esta entrada para hacerme eco del nacimiento de una nueva página de problemas matemáticos. Normalmente, suelo descubrir las páginas que recomiendo gracias a avisos de lectores, o a búsquedas por Internet, pero ahora sabía de su aparición con alguna antelación, y el aviso sólo ha sido una confirmación.

Mi antiguo alumno, y ahora amigo, Pablo Ruiz Pianelo ha creado una página (Problemas Matemáticos) donde recogerá los problemas que más le hayan llamado la atención durante su preparación y participación en concursos de problemas.

Según me ha dicho, en breve pondrá soluciones a esos problemas. Promete ser una página interesante dentro del tema que nos ocupa. Ánimo, Pablo.

Para mí es motivo de orgullo que un alumno que se ha formado en mi centro dedique parte de su tiempo y su esfuerzo a la divulgación.

domingo, 25 de julio de 2010

Dos ciclistas

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Recorrido ciclista

Recorrido ciclista

El siguiente plano muestra el recorrido de dos ciclistas que parten simultáneamente del punto A, con la misma velocidad constante de un paso por segundo (un paso es la distancia vertical u horizontal entre dos puntos consecutivos de la trama). Resuelve las cuestiones siguientes:

a) Haz una tabla de valores y una gráfica que muestre la distancia (en pasos) que ha habido entre los dos en todo el recorrido, en función del tiempo.

b) Si los dos llevan un intercomunicador con un alcance de tres pasos ¿en qué momentos se han podido comunicar?

Solución

jueves, 22 de julio de 2010

Números coloreados

Pruebas de selección para Estalmat 2009

Los números se colorean de rojo, verde o azul con las siguientes condiciones que no pueden entrar en contradicción:

* La suma de dos números de color azul da un número de color verde.

* La suma de dos números de color verde da un número de color azul.

* El resto de los números son de color rojo.

a) Si el número uno se pinta de color verde, ¿de qué color serían los números del 1 hasta el 10?

b) Si el número uno se pinta de color verde, como antes, ¿de qué color sería el número 125? ¿Y el 381?

c) Si el número uno se pinta de color azul, ¿de qué color sería el número 2009?

Solución

domingo, 18 de julio de 2010

Plantando árboles

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Un jardinero tiene que plantar en una fila a lo largo de un camino tres robles, cuatro encinas y cinco hayas.

Planta los arboles al azar; siendo la probabilidad de plantar un árbol u otro la misma.

Halla la probabilidad de que, una vez plantados todos los arboles, no haya dos hayas consecutivas.

Solución

jueves, 15 de julio de 2010

Área desconocida

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

En un cuadrado ABCD de lado 18 centímetros, se toma un punto E sobre el lado AB de forma que EB = 5*AE. Se trazan EC y la diagonal DB, que se cortan en F.

Encuentra el área del triángulo BFC.

Solución

martes, 13 de julio de 2010

Resultados de la IMO 2010

Ya se han hecho públicos, en la página oficial de la Olimpiada Internacional, los resultados de la presente edición. Voy a analizar los resultados generales, individuales, y los de los países de habla hispana más destacados.

En primer lugar, por equipos, se distingue de nuevo el éxito de la representación de la República Popular China, que repite título por tercer año consecutivo. Desde 1999 siempre acaba en primer o segundo puesto, y sólo en tres ocasiones de esos últimos 12 años ha quedado segunda. Una trayectoria por equipos difícilmente mejorable.

En segundo lugar nos volvemos a encontrar otro país que siempre destaca, la Federación Rusa. También suele ocupar los primeros puestos, ha mejorado el tercer puesto del año pasado.

En tercer lugar, los Estados Unidos de América, que mejora el sexto puesto del año anterior. Aunque desde 1994 no ocupa la primera posición suele tener buenos resultados.

Más rezagados encontramos la República de Corea (cuarta por tercera vez consecutiva), Kazajastán, que consigue un quinto puesto que es el mejor de su historia (fueron sextos en 1991, pero han sido sus únicos dos resultados por encima del décimo), empatados con este último encontramos a Tailandia, que consiguen su mejor clasificación de la historia (sus tres últimos resultados han sido las únicas ocasiones que han estado entre los 10 primeros). Detrás está Japón, que desciende notablemente desde el segundo puesto del año pasado a puestos más frecuentes en su historial, Turquía, que consigue por tercera vez consecutiva un octavo puesto, su mejor clasificación, Alemania, que repite noveno puesto, y Serbia, que consigue por primera vez en su (reciente) historia un décimo puesto, su mejor clasificación.

En cuanto a los países de habla hispana, el primero que encontramos es a Perú, en el puesto 18, (segundo mejor resultado histórico), que parece haberse situado en una situación mejor en los últimos tres años, México, en el puesto 33, que es el mejor puesto desde 2006. Después Brasil, en un puesto 35 después de dos años bajando del 20, Argentina, en el puesto 39, más o menos como vienen haciendo en las últimas ediciones, y España, en el 46, segundo mejor resultado desde el de 2008 (teniendo en cuenta el número de equipos participantes).

En cuanto a los resultados individuales, hay un ganador absoluto, único acertante de todas las preguntas, que es el chino Zipei Nie, que aún tiene 17 años y era la primera vez que participaba en esta competición.

En segunda posición. a sólo 3 puntos de 42, Evan O'Dorney, participante estadounidense que se lleva su tercera medalla (dos de plata y esta de oro), aunque sólo tiene 16 años.

En tercera posición, con 37 puntos, Teodor von Burg, de Serbia, que con 17 años es la cuarta vez que participa (dos oros, una plata y un bronce).

Empatados a 36 puntos hay nada menos que tres personas, Melih Ucer, de Turquía, Lisa Sauermann, la mujer mejor clasificada, de Alemania, y Jialun Li, de la República Popular China.

En cuanto a los resultados de los hispanohablantes, George Arzeno, de Puerto Rico ha obtenido medalla de oro (29 puntos) en su segunda participación, empatado con José Gustavo García Sulca, de Perú (primera participación con 15 años).

Con 26 puntos, la medalla de plata más alta del año, encontramos a Reynaldo Gil Pons, de Cuba, en su segunda participación, con 24 a Miguel Maurizio, de Argentina (tercera participación), con 23 y también plata, a Moisés Herradón, de España, en su tercera participación, con 22 Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales, de Brasil y Daniel Perales Anaya, de México.

Cuando tenga más tiempo, trataré de hacer un análisis más detallado de las participaciones de algunos países en la IMO. Agradecería que los concursantes que estuviesen dispuestos a colaborar para hablar de sus impresiones (y/o resolver para los lectores del blog algunos de los problemas) se pusiesen en contacto conmigo dejando un comentario o a través del correo problemate (@) gmail.com.

sábado, 10 de julio de 2010

La altura misteriosa

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Calcula la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sobre cada lado de un triángulo se tienen tres semicircunferencias cuyas longitudes son 3π centímetros, 4π centímetros y 5π centímetros.

Solución

viernes, 9 de julio de 2010

Problemas de la IMO 2010

Estos problemas son de bastante dificultad. Los propongo como información relativa al tema de la página, pero no voy a exponer la solución, al menos en bastante tiempo, ya que exponerla de forma adecuada me llevaría mucho tiempo.

Los tres primeros se propusieron en la primera sesión (miércoles), y los siguientes en la segunda (jueves). Cada sesión tiene una duración de 4 horas y media.

Problema 1

Determine todas las funciones f : R → R tales que

f([x]y) = f(x)[f(y)]

para todos los números x, y ∈ R.

([z] denota el mayor entero que es menor o igual que z.)

Problema 2

Sea ABC un triángulo, I su incentro y Γ su circunferencia circunscrita.

La recta AI corta de nuevo a Γ en D.

Sean E un punto en el arco BDC y F un punto en el lado BC tales que el ángulo BAF es igual a CAE y ambos son menores que la mitad de BAC.

Sea G el punto medio del segmento IF.

Demuestre que las rectas DG y EI se cortan sobre Γ.

Problema 3

Sea N el conjunto de los enteros positivos.

Determine todas las funciones g : N → N tales que (g(m) + n)(m + g(n)) es un cuadrado perfecto para todo m, n ∈ N.

Problema 4

Sea Γ la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y P un punto en el interior del triángulo.

Las rectas AP, BP y CP cortan de nuevo a Γ en los puntos K, L y M, respectivamente.

La recta tangente a Γ en C corta a la recta AB en S.

Si se tiene que SC = SP, demuestre que MK = ML.

Problema 5

En cada una de las seis cajas B1, B2, B3, B4, B5, B6 hay inicialmente sólo una moneda.

Se permiten dos tipos de operaciones:

Tipo 1: Elegir una caja no vacía Bj, con 1 ≤ j ≤ 5. Retirar una moneda de Bj y añadir dos monedas a Bj+1.

Tipo 2: Elegir una caja no vacía Bk, con 1 ≤ k ≤ 4. Retirar una moneda de Bk e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) Bk+1 y Bk+2.

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas B1, B2, B3, B4, B5 vacías y a la caja B6 con exactamente 201020102010 monedas.

(Observe que abc = a(bc).)

Problema 6

Sea a1, a2, a3, . . . una sucesión de números reales positivos.

Se tiene que para algún entero positivo s, an = max{ak + an−k tal que 1 ≤ k ≤ n − 1} para todo n > s.

Demuestre que existen enteros positivos ℓ y N, con ℓ ≤ s, tales que an = a + an−ℓ para todo n ≥ N.

jueves, 8 de julio de 2010

Demasiado trabajo

Fase comarcal de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Consideremos los 2010 primeros números naturales 1, 2, ..., 2010. Separemos los pares y los impares. Tendremos 1005 pares y 1005 números impares.

Supongamos que multiplicamos todos los pares entre sí. Investiga en qué cifra acaba el producto.

¿Y si multiplicáramos todos los impares entre sí, en qué cifra acabaría el producto?

Solución

martes, 6 de julio de 2010

IMO 2010 en Astaná (Kazajistán)

De nuevo está en marcha la edición anual de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Este año se celebra en la capital de Kazajistán, Astaná. Se trata de la edición número 51. Se espera la participación de 98 países, seis menos que el año pasado. Los participantes ya deben estar allí, y la ceremonia de apertura es hoy, día 6 de julio. Mañana y pasado serán las pruebas y muy pronto tendremos los resultados oficiales. Voy a realizar una breve reseña de los participantes más destacados, aunque eso es algo subjetivo. Si quieres conocer más detalles te puedes pasar por la página oficial.

Se trata de un concurso de problemas matemáticos en los que participan países de todo el mundo. El formato se ha ido modificando con el tiempo, pero en la actualidad consiste en resolver 6 problemas, tres en una sesión y tres en otra. En ambas sesiones se supone que los problemas están ordenados en orden creciente de dificultad.

En primer lugar, hablaré de la selección de España. Dos participantes repiten de la delegación del año pasado. Ander Lamaisón, bronce en 2009, encabeza la delegación tras conseguir el primer puesto en la OME. Moisés Herradón, todo un veterano tras dos participaciones (medalla de bronce en 2009, mención honorífica en 2008) tratará de incrementar aún más su palmarés. Los otros cuatro concursantes son nuevos en esto, pero no dudo que harán todo lo posible para lograr un éxito. Xavier Fernández-Real y Guillem Alsina están en último año de los estudios secundarios, por lo que será su primera y última participación, mientras que Pablo Boixeda aún tendrá una oportunidad más, y Óscar Rivero aún cursa 4º de ESO, por lo que puede convertirse en otro asiduo de la competición, al estilo de Moisés. En el historial de España, la mejor participación por equipos se considera la de 2008, en la que se lograron tres medallas de bronce y tres menciones honoríficas, si bien en el historial de la delegación española figuran tres medallas de plata en total.

Una concursante que participó con éxito el año pasado con mucho éxito es Lisa Sauermann, de Alemania. Será la cuarta edición para esta alemana, que lleva una plata y dos oros. El año pasado acabó tercera a tan sólo un punto de los dos que empataron en el primer puesto. Esta será su última participación, pero estoy seguro de que le espera un brillante futuro. También el concursante japonés Akio Kishikawa, cuarto el año pasado, participa de nuevo en su último año. Es el único de su país que repite participación. Sin embargo hay varios de la República Democrática de Corea que repiten participación, entre los que destaca Un Song Ri, también cuarto el año pasado.

En cuanto a otros países de habla hispana, México participa con un equipo muy joven, con un único participante que repite (Flavio Hernández González, mención honorífica en 2009), y un jovencísimo Diego Alonso Roque Montoya de sólo 14 años. Probablemente, también Daniel Perales Anaya, de 16, tendrá más oportunidades en el futuro. Su mejor clasificación fue en 2006, con una medalla de oro, dos platas y un bronce.

Desde Colombia envían sólo cuatro participantes, de los que destacan por edad Angela Maria Castañeda Oviedo y Juan Camilo Azuero Mutis, de 16 años. Su mejor resultado histórico fue en 2005, con dos platas y dos bronces (aunque en 1998 un colombiano consiguió el oro).

Desde Argentina envían un equipo con tres concursantes nuevos y tres que ya participaron en 2009 (para Miguel Maurizio, mención honorífica en 2009, será la tercera participación). Queda lejos la mejor participación, en 2001, con tres platas y dos bronces). En su historial hay tres medallas de oro.

El país más sorprendente es, sin duda, Perú. Envía un equipo de seis concursantes muy jóvenes, en el que destaca un jovencísimo Raúl Arturo Chávez Sarmiento, de 12 años y que ya consiguió medalla de bronce en 2009. Es el único que repite, por lo que se da la circunstancia de que es también el más veterano del grupo. La progresión de este país en los últimos años ha sido muy buena, destacando los resultados de 2008 (una medalla de oro, la única de su historia, tres platas y dos bronces).

Otra sorpresa, en esta ocasión negativa es la no participación de Chile.

Venezuela participa con sólo dos concursantes, que ya participaron en años anteriores.

Ecuador participa con dos concursantes veteranos y también varios jóvenes (Carlos Cortéz sólo tiene 14 años).

Quedan muchos otros países que participan, si quieres que comente alguno con más detalle, o bien quieres conocer algún nombre de concursante más de algún país, deja un comentario.

domingo, 4 de julio de 2010

Conjuntos especiales

Fase local de la XLVI Olimpiada Matemática Española, Alicante 2010

Decimos que un conjunto E de números naturales es especial cuando al tomar dos elementos cualesquiera distintos a, b del conjunto E se tiene que (a − b)2 divide al producto ab.

(a) Encuentra un conjunto especial formado por tres elementos.

(b) ¿Existe un conjunto especial formado por cuatro números naturales que están en progresión aritmética?

Solución

jueves, 1 de julio de 2010

Con dos dados

Fase comarcal de Alicante de la XXI Olimpiada Matemática, 2010

Al tirar dos dados observamos el número de cada cara, y calculamos la suma de los dos números.

¿Qué probabilidad es mayor: "La suma de las dos caras es múltiplo de 5" o bien "la suma de las dos caras es múltiplo de 6"?

Solución