viernes, 27 de febrero de 2009

Casillas

Fase provincial de Valencia de la XIX Olimpiada Matemática, 2008

Casillas

Casillas

Originalmente, la siguiente figura tenía un número en cada casilla, con la propiedad de que un número en una casilla era igual a la suma de los números en las dos casillas que están inmediatamente arriba de ella.

Observa que arriba había cuatro números, en la segunda fila 3, en la tercera 2 y en la cuarta fila sólo 1.

Con el paso del tiempo alguno de los números se han borrado, y sólo quedaron los que se muestran: un 2 arriba a la derecha, un 8 en la casilla central de la segunda fila y la última de abajo del todo, que tiene un 33.

¿Qué número había originalmente en la casilla marcada con X, la de la izquierda de la primera fila?

Solución

domingo, 22 de febrero de 2009

Iluminando cuadros

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Después de las vacaciones, vamos a empezar este concurso con un problema fácil, para ir preparando el terreno.

En esta ocasión te corresponde ser el decorador de un sala de exposiciones. Han montado una exposición con cuadros en diferentes salas. Sobre los cuadros hay un largo riel donde colocar las lámparas que los iluminan. Para evitar favorecer a un cuadro o a otro, debemos poner la misma cantidad de luces iluminando a cada cuadro.

El problema es que los técnicos te han dejado escrito, en cada una de las salas, la cantidad de luces que debes poner, y no puedes poner ni una más, ni una menos. Y también tienes decidido el número de cuadros de cada sala, de forma que no siempre es posible dividir las luces entre los cuadros de forma exacta.

En las primeras salas, hay tres cuadros y nueve luces, de forma que resulta fácil disponer tres luces sobre cada cuadro. Sin embargo, pronto encuentras una sala con sólo dos cuadros y tres luces. De pronto, se te ocurre una idea genial: pones una de las luces entre los dos cuadros, de forma que ilumina a ambos. Así, tanto a uno como al otro lo iluminan dos luces (se entiende que sólo se puede poner una luz entre dos cuadros, y que ilumina a ambos).

Soluciona tú ahora las siguientes salas, explicando con claridad el método seguido.

En la sala P hay 4 cuadros y 11 luces.

En la sala Q hay 4 cuadros y 13 luces.

En la sala R hay 7 cuadros y 23 luces.

En la sala S hay 8 cuadros y 11 luces.

Si resuelves todo esto, es probable que consigas un puesto de trabajo mejor. Lo que pasa es que tendrás que dejar escrito a tu sucesor un método eficaz que le permita situar cualquier número de lámparas sobre cualquier número de cuadros (suponemos que hay más lámparas que cuadros) de forma que se cumplan las condiciones anteriores. Suerte con tu tarea.

Solución

jueves, 19 de febrero de 2009

Operaciones mal escritas

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Suma mal hecha

Suma mal hecha

Después de las vacaciones, vamos a empezar este concurso con un problema fácil, para ir preparando el terreno.

División mal hecha

División mal hecha

Se trata de dos operaciones muy sencillas y que seguro que sabes hacer bien, lo que sucede es que están mal escritas. Totalmente mal escritas.

La primera es una suma, y la segunda una división. Y en ambas operaciones, el duende de la impresora ha cambiado todos y cada uno de los dígitos, o bien por uno una unidad más grande, o bien por uno una unidad más pequeño.

Tu misión es encontrar la suma y la división originales, indicando el camino que has seguido para encontrar los valores. Ánimo, que tienes tiempo.

Nota: la división no tiene resto, es decir, es exacta.

Solución

domingo, 15 de febrero de 2009

Una suma sencilla

III Concurso IES Miguel Hernández, 2008

Suma

Suma

Después de las vacaciones, vamos a empezar este concurso con un problema fácil, para ir preparando el terreno.

A ver si eres capaz de resolver esto: TRES + DOS + DOS = SIETE. ¿Fácil, verdad? A lo mejor crees que te estamos tomando el pelo. Si piensas que es una sencilla suma (y además, verdadera), mírala otra vez.

Cada letra es, en realidad, un dígito disfrazado. Y si dos letras son iguales, representan el mismo número. Pero si son distintas, entonces los números que reemplazan también son distintos.

Para que te veas las cosas más sencillas, te ponemos la suma bien ordenada aquí al lado. Pero acuérdate de decirnos cómo averiguas lo que vale cada letra, porque sólo explicando todo el razonamiento obtendrás la máxima puntuación.

Solución

jueves, 12 de febrero de 2009

Marido y mujer

Fase provincial de Valencia de la XIX Olimpiada Matemática, 2008

La edad de mi marido se representa invirtiendo las cifras de mi propia edad. Él es mayor que yo, y la diferencia entre nuestras edades equivale a la undécima parte de la suma de ambas.

¿Cuáles son las edades del marido y de la mujer?

Solución

martes, 10 de febrero de 2009

Resultados locales de la 45 OME

Han tardado, pero por fin la organización ha comunicado a los participantes el resultado de la XLV edición de la Olimpiada Matemática Española.

Desde aquí quiero empezar reiterando mi felicitación a todas las personas que han participado, por el esfuerzo hecho el día de la celebración, y también durante la preparación. Recordad que el principal interés de este concurso es estimular la práctica de la matemática, y el interés por la resolución de problemas, y en vosotros creo que se ha conseguido.

De nuevo, un alumno de mi centro, Pablo Ruiz Pianelo, ha logrado la tercera plaza, lo que (además del premio en metálico), le permite asistir a la fase nacional que este año se desarrolla en Gerona, concretamente en Sant Feliu de Guixols, del 26 al 28 de marzo. Seguro que se esfuerza para tratar de lograr la posición más alta posible, a pesar de cursar todavía 1º de Bachillerato.

Los otros dos puestos son para Ricardo Berenguer Verdú, del IES La Creueta de Onil, que consigue el primer puesto, y para Ricardo Candela Castro, del colegio Hermanos Maristas Sagrado Corazón, de Alicante, que consigue el segundo. Les deseo a los tres mucha suerte en la segunda fase, en la que representarán a su distrito universitario. Si puede ser, os conoceré en alguna jornada de preparación, o en la ceremonia de entrega de premios.

El resto de la representación del IES Miguel Hernández también ha hecho un buen papel, ya que ha logrado un quinto puesto (para Francisco Sabuco Pérez), tres sextos puestos (Javier Latorre Playan, Antonio José Pérez Vidal y Arancha Sola Tarí), dos séptimos puestos (Ramón Ausina Pous y Elena Seva Carmona) y un noveno (Marina Miró Oca). Además, hablando con ellos, todos me han mencionado que ha sido una buena experiencia, y estoy seguro que repetirán el año que viene, puesto que, excepto Fran, todos participan desde 1º de Bachillerato o 4º de ESO.

Varios alumnos y alumnas de mi centro, por un motivo u otro, no han participado este año a pesar de nuestra recomendación de que lo hiciesen. Desde aquí quiero también darles ánimos para que otro año lo intenten. Estoy seguro de que la experiencia valdrá la pena.

En cuanto a los participantes de otros centros, el cuarto puesto fue para Mario Ferrándiz Gomis, de Agustinos. Este mismo centro obtuvo un octavo puesto (David). El quinto puesto lo obtuvo también María Fernández Alarcón, a la que conozco personalmente y que estoy seguro que el año que viene nos pondrá las cosas más difíciles, de Maristas de Alicante, como también lo son Alejandro Aparicio Blasco (sexto puesto), Martín y Luca (séptimo puesto) y Jose Vicente (octavo puesto). En sexta posición quedó también Adrián Gasó Montiel, único participante del IES San Blas.

En la séptima posición encontramos a Alberto José, de inmaculada Jesuitas, como Carlos (séptimo puesto) e Ignacio (noveno puesto). También en séptimo lugar, Héctor y Jorge, del IES Mutxamel, como otro Jorge que ocupó la novena plaza. Y también Óscar, del IES La Creueta de Onil, al igual que el campeón de la prueba, ocupa una séptima plaza.

También quiero mencionar la participación del IES La Melva, de Elda, aunque en esta ocasión no tuviesen suerte, con tres octavos (Fernando Nobel, Fernando y Álvaro) y cuatro novenos (Héctor Manuel, Ana Victoria, Pablo y Miguel Ángel). Y la de Marco, del IES Gaia, de San Vicente, en la novena plaza.

domingo, 8 de febrero de 2009

Dos expresiones enteras

(Fase catalana de la XLV Olimpiada Matemática Española, diciembre 2008)

Caracteriza todos los números enteros positivos N que no se pueden escribir de ninguna de las dos maneras siguientes:

ab + a + b

cd + c − d

donde a, b, c, d son enteros positivos tales que c ≥ d.

Solución

viernes, 6 de febrero de 2009

El Mathcamp

Voy a dedicar esta entrada a una de las más interesantes actividades relacionadas con las matemáticas que ha llegado a mi conocimiento. Se trata de un campamento de verano para jóvenes (13 a 18 años) aficionados a las matemáticas, de cinco semanas de duración, en una universidad norteamericana (de Estados Unidos o de Canadá).

Puedes encontrar toda la información que la organización pone en internet en la dirección de la página web del Mathcamp.

Lleva organizándose, al parecer, desde el 2001, y se define como A Summer Program for Mathematically Talented High-School Students From Around the World (Una actividad veraniega para estudiantes de instituto con talento para las matemáticas de todo el mundo). Evidentemente, es necesario un buen dominio del inglés para aprovechar adecuadamente todo lo que esta actividad brinda.

Este año se desarrolla en la Universidad de Puget Sound, en Tacoma (Washington). Para poder participar, los interesados necesitan cumplir unos requisitos, como por ejemplo resolver algunos de los problemas que proponen todos los años (el Qualifying Quiz), y que un profesor y otro adulto le escriban una carta de recomendación. El plazo de admisión de solicitudes es hasta el sábado 25 de abril de 2009. El coste del campamento es de 3500 dólares (además del transporte), aunque si tus condiciones económicas son bajas, y tus respuestas a la prueba de acceso convencen a la organización, puedes lograr subvenciones.

Además de lo interesante que puede ser acudir, también podemos limitarnos a tratar de resolver los 8 problemas que cada año usan para seleccionar a los estudiantes que acuden al Mathcamp. Se trata de una prueba de dificultad creciente con problemas muy originales que pondrán a prueba tu capacidad para buscar patrones, para deducir, y también para ser creativo.

Me gustaría conocer otras actividades de ese tipo, si existen. No creo que sea la única actividad veraniega de matemáticas.

miércoles, 4 de febrero de 2009

La diana triangular

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Diana triangular

Diana triangular

Una diana triangular está formada por un triángulo equilátero de lado 1 metro, como se indica en el dibujo. Observa que hay dibujado un círculo inscrito en la diana, y otros tres tangentes a dos de los lados y al círculo central

Robín es un arquero que, desde cierta distancia, siempre que lanza una flecha, la clava en la diana.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Robín clave la flecha dentro del círculo inscrito (el grande sombreado)?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se quede clavada dentro de alguno de los tres círculos (la zona sombreada)?

Solución

domingo, 1 de febrero de 2009

El estampado del mantel

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Diseño

Diseño

Un mantel rectangular tiene dibujado un diseño similar al siguiente, de manera que el lado de cada cuadrado es 20 cm. Si al azar, una gota de aceite ha caído sobre él, ¿con qué probabilidad caerá, dentro de alguno de los cuadrados en posición horizontal?

Solución