jueves, 29 de enero de 2009

Cartulina

(Fase provincial de Valencia de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Cuadrado

Tenemos tres piezas de cartulina de forma rectangular. Si las coloco de la forma que indica la figura, obtengo un cuadrado que tiene 24 centímetros de perímetro.

Colocándolas de otra manera, sin superponerlas, obtengo un rectángulo. ¿Cuál sería el perímetro de ese rectángulo?

Solución

domingo, 25 de enero de 2009

Un ángulo bisecado

(Fase catalana de la XLV Olimpiada Matemática Española, diciembre 2008)

Dos circunferencias son tangentes interiores en el punto T. Sea AB una cuerda de la circunferencia exterior que es tangente a la interior en el punto P.

Demuestra que TP biseca (divide en dos partes iguales) al ángulo ATB (evidentemente, ATP y PTB).

Solución

jueves, 22 de enero de 2009

Las tres hermanas

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Un matrimonio tiene tres hijas: Ana, Blanca y Consuelo. El cuadrado de la edad de Ana, más el cuadrado de la edad de Blanca, más la edad de Consuelo, es igual al cuadrado de la edad de Consuelo.

Cuando Ana tenga la edad que tiene Consuelo ahora, Consuelo tendrá 4 veces la edad que Ana tiene ahora, y el doble de la edad que tiene Blanca ahora.

¿Cuáles son las edades de las tres hermanas?

Solución

martes, 20 de enero de 2009

Olimpiada Española de Matemáticas 2009

Este sábado 24 se convoca en la Universidad de Alicante (y en las demás sedes de toda España, probablemente, con poca diferencia en cuanto a fechas), la XLV Olimpiada Española de Matemáticas.

En concreto, la de Alicante, en la que participarán varios estudiantes de mi instituto, se celebrará el sábado, 24 de enero de 2009. La primera sesión tendrá lugar a las 10:00 a 13:00 horas, en el Aula CI/0001 Fase II, Facultad de Ciencias. Probablemente intentaremos estar a las 9:30 allí.

La segunda sesión tendrá lugar en el mismo sitio, de 15:00 a 18:00 horas.

Suerte a todos los participantes, en especial a los que visitan a menudo este blog.

domingo, 18 de enero de 2009

Pasando por el centro

XIV Olimpiada de Mayo, segundo problema de segundo nivel, 2008

En el rectángulo ABCD de lados AB , BC , CD y DA , sea P un punto del lado AD tal que el ángulo BPC es recto (mide 90 grados).

La perpendicular a BP trazada por A corta a BP en M y la perpendicular a CP trazada por D corta a CP en N.

Demuestra que el centro del rectángulo está en el segmento MN.

Solución

jueves, 15 de enero de 2009

Problema de altura

(Fase provincial de Valencia de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

David, Alba y Esther son más altos que Daniel.

Esther, Gabriel y Daniel son más bajos que David.

Si los ordenas de mayor a menor, David y Gabriel ocupan posiciones con número par.

¿Cuál de todas las personas que hemos citado es la de menor estatura?

¿Podrías situar todos los nombres, de más alto a más bajo?

Solución

martes, 13 de enero de 2009

Potencias contra factoriales

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

¿Qué número es mayor, 999! o 500999? Justifica la respuesta.

Recuerda que en 999! se multiplican todos los números enteros de 1 al 999, y en 500999 se multiplican 999 factores iguales a 500.

Solución

jueves, 8 de enero de 2009

Treses y sietes

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Hallar el menor número natural formado, únicamente, por cifras “3” y “7”, de manera que sea divisible por 3 y por 7.

Solución

martes, 6 de enero de 2009

Repaso al 2008

Para mí, 2008 ha sido un gran año. Ya sé que hay crisis, y que posiblemente para mucha gente sea el peor año de su vida, pero yo miro las cosas desde otro punto de vista y lo he visto como un año difícil de superar.

Tal vez por eso, creo que es hora de darle un repasito y recordar las cosas que han pasado que tienen que ver con este blog.

En enero se convocaba y se desarrollaba la fase local de la OME, en el que una alumna de mi centro, María, se clasificaba como tercera para la fase nacional, y varios más (algunos de 1º) conseguían buena clasificación. También por estas fechas aparecía la convocatoria para la fase comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana.

En marzo publicábamos el final del concurso del instituto, con los resultados, y empezábamos a poner los problemas. Cumplió un año este blog, por tanto, pues nació con ese objetivo.

En abril se celebraba la fase final de la Olimpiada Matemática Española, en Valencia. También se celebraba la fase comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana.

En mayo conocíamos los participantes en la fase provincial de la OMCV, entre los que había muchos de mi centro. También se convocaba la prueba de selección para Estalmat, que tendría lugar apenas un mes después. Por último, a finales, se celebraba la fase provincial de la OMCV, aunque los resultados (que se comunicaron en el acto) no se publicaron de manera clara.

En junio se celebraba la selección para Estalmat, y se nos ocurría la idea de abrir el Encuentro Preolímpico a otros centros. También se celebraba la fase final de la OMCV, en la que participó Marina, una alumna de mi instituto.

En julio se celebraba la IMO en Madrid, siendo invitado a participar como coordinador.

En agosto publicaba mi primera entrevista, con Felipe Gago.

En septiembre, se celebraba la OIM en Salvador de Bahía, y yo estaba muy escamado por el escaso eco que tenía el Encuentro Preolímpico.

En octubre celebramos el Encuentro Preolímpico, en su modalidad Bachillerato, con una acogida muy fría.

En noviembre seguimos preparando el Encuentro Preolímpico, y empezamos con el concurso del IES Miguel Hernández.

En diciembre publiqué otra entrevista (con Moisés, un participante en la IMO y en la OIM), celebramos el Encuentro Preolímpico (modalidad ESO) con una mucho mejor acogida, y preparamos la participación en la prueba Canguro Matemático.

En fin, un año cargado de actividades, que espero sea sólo el primero de muchos.

domingo, 4 de enero de 2009

Números autodefinidos

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Fíjate en el siguiente número: 21200.

Está formado por:

2 ceros

1 uno

2 doses

0 treses

0 cuatros

Se dice que un número natural con no más de diez cifras es autodefinido si la primera de sus cifras (de izquierda a derecha) coincide con el número de ceros de que consta; la segunda coincide con el número de unos; la tercera con el de doses...

El número 21200 es, pues, un número autodefinido.

¿Serás capaz de calcular todos los números autodefinidos que existen? No temas, no son muchos.

Solución

jueves, 1 de enero de 2009

Borrando la pizarra

XIV Olimpiada de Mayo, tercer problema del primer nivel, 2008

En un pizarrón están escritos todos los números enteros del 1 al 2008 inclusive. Se borran dos números y se escribe su diferencia. Por ejemplo, si se borran 5 y 241, se escribe 236. Así se continúa, borrando dos números y escribiendo su diferencia, hasta que sólo queda un número. Determina si el número que queda al final puede ser 2008. ¿Y 2007?

En cada caso, si la respuesta es afirmativa indica una secuencia con ese número final, y si es negativa, explica por qué.

Solución