domingo, 31 de agosto de 2008

El menor perímetro

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Determina el triángulo de menor perímetro entre todos los que tienen la circunferencia inscrita con el mismo radio y el mismo valor de un ángulo.

Solución

jueves, 28 de agosto de 2008

Capicúas

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Juan quería sumar todos los números capicúa de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. ¿Qué número olvidó si la suma obtenida fue 490776?

Solución

domingo, 24 de agosto de 2008

Rodeado de circunferencias

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Tres circunferencias tangentes

Tres circunferencias tangentes

Calcula el área sombreada que queda delimitada por estas tres circunferencias tangentes entre sí, sabiendo que el diámetro de cada una de ellas es 10 cm.

Solución

jueves, 21 de agosto de 2008

Alienígenas

(Fase autonómica de la Comunidad Valenciana de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Nos ha visitado un grupo de alienígenas. Algunos tienen cuatro ojos. Algunos tienen seis ojos. Algunos tienen ocho ojos. Algunos tienen doce ojos. Ha venido la misma cantidad de cada tipo de alienígenas. El número total de ojos de los alienígenas reunidos en un estadio es de 5120.

¿Cuántos alienígenas hay?

Solución

martes, 19 de agosto de 2008

Entrevista con Felipe Gago

Felipe Gago actuó de Jefe de Delegación (Team Leader) del equipo español en la 49 edición de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO), celebrada el pasado mes de julio en Madrid. Gracias a una serie de afortunadas coincidencias le conozco personalmente, y ha tenido la amabilidad de responder a unas cuantas preguntas para publicarlas en este blog.

Espero que esta entrevista os resulte interesante. Si es así, procuraré publicar más en el futuro, con personas dedicadas a este tipo de eventos.

Hola, Felipe. ¿Nos puedes decir cuál es tu trabajo habitual?

Soy profesor en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela.

¿Qué relación has tenido hasta este curso con las Olimpiadas Matemáticas?

Desde 1999 estoy en la Comisión de Olimpiadas de la RSME y organizo la Fase Autonómica de la Olimpiada Matemática Española (OME) en Galicia. También he organizado la fase Nacional de la LXI OME en 2005, y, como recordarás, coincidimos como miembros del Tribunal de Coordinación el la XIX Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas que se celebró en Castellón.

¿Cuándo te ofrecieron actuar de líder del equipo español?

La decisión se tomó en Valencia, en la Fase Nacional de la XLIV OME.

¿Cómo calificarías la experiencia?

Poder participar en el Jurado como Jefe de Delegación es una experiencia enriquecedora en si misma, y hacerlo cuando la Olimpíada se celebra en tu país añade un plus de ilusión y responsabilidad.

¿Qué opinas de los resultados del equipo español en la 49ª IMO?

Después de los recientes éxitos deportivos de españoles en competiciones internacionales, pueda que a alguien le sepa a poco lo cosechado por nuestros chicos en la 49 IMO. Lo cierto es todos han estado a buen nivel y fue una pena que se les resitiesen los problemas 2 y 5, que hubiesen significado un cambio substancial en el medallero. Pero todos han obtenido al menos una mención de honor por haber resuelto correctamente alguno de los problemas.

¿Te parecieron difíciles las pruebas?

En mi opinión no se puede hablar de fácil o difícil en los problemas de olimpíada, lo más que se puede hacer es juzgar por los resultados.

Lo que quiero decir es que, en el Jurado, los países no punteros opinaban que los problemas 3 y 6 no habían salido suficientemente difíciles y que eso no nos favorecía; algunos llegaban a vaticinar que las medallas de oro requerirían "perfect score". Si miramos los resultados vemos que sólo hubo 3 chicos con la máxima puntuación de 42 puntos.

¿Tienes alguna anécdota que quieras compartir con los lectores del blog?

Como sabes, el jefe de delegación y el tutor corrigen los ejercicios de los chicos para después coordinar la nota con el Tribunal. Pues bien, uno de nuestros chicos, en el problema 1, olvidó reflejar que el centro de la circunferencia cuya existencia había que demostrar coincidía con el circuncentro del triángulo dado. Y ahí nos tienes al tres veces olímpico, Luis Hernández Corbato, que era el tutor del equipo español, y a mí rastreando en el papel los puntos en los que había apoyado el compás para hacer unas mediatrices, por ver si podíamos justificar que la idea estaba implícita. Fue bastante divertido, aunque infructuoso.

¿Nos puedes hacer un resumen de los objetivos que crees que cubre la IMO?

La IMO en sí es una auténtica fiesta de las matemáticas. Para todos aquellos que llevamos dentro el gusanillo es un evento inolvidable. Desde mi punto de vista, el objetivo más importante es el de dar relevancia social al esfuerzo de mucha gente, no sólo de los particpantes, que dedica muchas horas a desarrollar sus capacidades. Por otra parte, están los intrínsecos de la competición: descubrir, animar y retar a aquellos estudiantes especialmente dotados para la matemática. En todo el proceso, de difusión, selección y preparación, además se establecen relaciones entre alumnos y profesores que resultan de provecho para todos.

¿Crees que se podría hacer una mayor labor de difusión? ¿Sería útil?

Siempre se puede hacer algo más, naturalmente. Donde tenemos que aumentar la labor de difusión es para la Olimpiada Matemática Española, consiguiendo que más y más profesores vean que es una salida natural para estudiantes con especial gusto por (o capacidad para) resolver problemas. Creo que nosotros aún vemos la participación en la IMO como un premio para los ganadores de la OME. En otros países es un objetivo en si mismo, y lo demás no son sino etapas necesarias. Son puntos de vista.

Yo también pienso que muchas personas con gran potencial no participan en la OME, bien sea por falta de información, o por que no creen que les puede beneficiar. ¿Qué quieres decir con que participar en la IMO lo vemos como un premio para los ganadores de la OME?

Lo que quiero decir, es que en otros países el equipo de la IMO se selecciona por medio de varias pruebas que a su vez forma parte de la preparación. A los concursantes se les exige mucho más, se les libera de clases para que puedan concentrarse en la preparación, se les hace competir más entre ellos.

Nosotros, no interferimos (o lo hacemos lo menos posible) con su vida académica: está también su selectividad, "su futuro" y así. Lo vemos como algo más "amateur", como complementario.

En cuanto a la selección, pues es así, los seis medallas de oro de la OME ya forman participan en la IMO, como antes los ganadores de las fases locales compiten en la fase nacional. No quiero decir que sea mejor, pero si sería distinto si, digamos los 12 primeros de la OME, viéndose próximos a las medallas, tuviesen oportunidad de ser formados un tiempo y volver a competir entre ellos para estar en el equipo.

En fin, son reflexiones de un científico, sentado en su mesa de trabajo. Después está como se lleva esto a la práctica y como se conjuga con con nuestro trabajo (nuestro famoso voluntarismo, que no en todas partes es así) y con las necesidades de los chicos.

¿Se establecen contactos con matemáticos, o futuros matemáticos, de otros países en este tipo de eventos?

No es un tópico lo de la familia olímpica. Date cuenta de que desde el día 10 hasta el 17 los miembros del jurado estuvimos prácticamente encerrados en el hotel, y a pesar del mucho trabajo, esto favorece el contacto y el conocimiento mútuo. Se producen intercambios de experiencias, problemas de las distintas olimpíadas, soluciones y comentarios a los problemas en los que se trabaja para preparar la prueba, etc. Hay personas con mucha experiencia y años de dedicación cuyas opiniones tienen peso en las decisiones, pero aún así, en las distancias cortas, se muestran abiertos y son generosos.

También los participantes tienen muchas oportunidades para establecer relaciones con otros que comparten sus aficiones, aunque de distintas lenguas y culturas.

¿Participas en labores de formación de participantes?

Estoy en contacto con con los responsables de ESTALMAT en Galicia y he colaborado en labores de organización, pero no en labores formativas. Lo que sí hago es preparar a los ganadores de la Fase Autonómica en Galicia para acudir a la Fase Nacional Española.

¿Vas a participar en la Iberoamericana de este mes de septiembre, en Brasil?

!Ya me gustaría! pero hay que dejar paso.

Gracias por todo, y hasta pronto, Felipe. Si alguien propone en los comentarios alguna pregunta interesante, te escribiré para pedir tu opinión.

domingo, 17 de agosto de 2008

Los 17 números

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Se consideran 17 enteros positivos tales que ninguno de ellos tiene un factor primo mayor que 7. Demuestra que, al menos, el producto de dos de estos números es un cuadrado perfecto.

Solución

jueves, 14 de agosto de 2008

Vecinos perfectos

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Coloca los 16 primeros números naturales (1, 2, 3..., 16), en 16 casillas consecutivas, uno en cada casilla y sin repetir ninguno, de manera que la suma de dos números vecinos cualesquiera sea un cuadrado perfecto.

Solución

domingo, 10 de agosto de 2008

¡Menudo numerito!

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Encuentra un número de 4 cifras que cumpla las siguientes condiciones:

a) La suma de los cuadrados de las cifras de las centenas y las unidades es igual a 53.

b) La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es 45.

c) Si del número pedido restamos el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, encontramos un múltiplo de 99 comprendido entre 1000 y 1200.

Solución

jueves, 7 de agosto de 2008

Policubos

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Cubo

Cubo

Un policubo es un sólido macizo que se obtiene al pegar por sus caras cubos unitarios (del mismo lado). El orden de un policubo es el número de cubos necesario para formarlo.

Evidentemente, sólo hay un policubo de orden 1, que se trata del mismo cubo.

Policubo de orden 2

Policubo de orden 2

De orden 2 sólo hay un único policubo, que es el representado junto a estas líneas, compuesto por dos cubos pegados por una cara. Da igual qué cara usemos, girándolo podremos llegar a la misma posición.

Policubo de orden 3

Policubo de orden 3

Cuando llegamos al orden 3, hay alguna variación. Podemos ver que hay dos tipos de policubos distintos, que vemos junto a estas líneas.

a) ¿Sabrías decir cuántos policubos hay de orden 4? Dibújalos.

b) Dibuja dos descomposiciones distintas de policubos de orden cuatro que se necesiten para construir la figura que hay bajo estas líneas, formada por 8 cubos.

Dos 4-policubos

Dos 4-policubos

c) ¿Se pueden recubrir todas las caras de la siguiente figura con policubos de orden 4 sin repetir ninguno? Razona la respuesta.

Figura a cubrir

Figura a cubrir

Solución

martes, 5 de agosto de 2008

El problema internacional

Tercer problema de la 49 Olimpiada Internacional de Matemáticas (2008)

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que 2n + √(2n) (la expresión es el doble de n más la raíz cuadrada del doble de n).

Comentario: inicio la publicación de problemas de categoría internacional. Esta sección será mensual, y propondrá problemas extraídos de competiciones preuniversitarias de carácter internacional. Proponer en primer lugar el problema 3 de la IMO 2008 tiene para mí un significado especial, pues trabajé con él durante la coordinación.

El porcentaje de participantes que solucionó este problema en la olimpiada fue bastante bajo (8,60 %), como corresponde a un problema tercero, que suele ser el más difícil de la jornada.

Solución

domingo, 3 de agosto de 2008

Un cuadrilátero especial

(Fase local de la XLIV Olimpiada Matemática Española, 2008)

Un cuadrilátero convexo tienen la propiedad que cada una de sus dos diagonales biseca su área. Demuestra que este cuadrilátero es un paralelogramo.

Solución