domingo, 29 de junio de 2008

Un trabajo en común

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Una amiga me pidió que le pasara un trabajo a ordenador.

El primer día pasé la cuarta parte del trabajo total, el segundo día una tercera parte del trabajo que quedaba, el tercer día la sexta parte del que faltaba, y el cuarto día lo acabé pasando 30 hojas.

¿Puedes averiguar cuántas hojas tenía el trabajo en total?

Solución

jueves, 26 de junio de 2008

Lío de lámparas en una habitación

Pruebas de selección para Estalmat 2008

Lámpara

Lámpara

En una habitación cuadrada se pueden poner lámparas de pie como las que ves en el dibujo. Te dicen que las coloques junto a la pared, con la condición de que haya el mismo número de lámparas en cada una de las cuatro paredes. Para ello, te permiten poner, como máximo, una lámpara en cada uno de los cuatro rincones de la habitación y, en ese caso, la lámpara se cuenta como perteneciente a las dos paredes que forman ese rincón (no siempre es necesario poner lámparas en un rincón).

a) Tienes 12 lámparas. ¿Cómo puedes colocarlas? Haz un dibujo que nos muestre, de un vistazo, la solución.

b) Ahora tienes 10 lámparas. ¿Cómo puedes colocarlas? Haz un dibujo que nos muestre, de un vistazo, la solución.

c) Resuelve el mismo problema para 11 y para 13 lámparas.

d) Prueba con otros cuatro números consecutivos, por ejemplo, 20, 21, 22 y 23 lámaparas, y comprueba que también es posible. Haz un dibujo explicativo de cada caso.

e) Para un número cualquiera de lámparas, ¿podrías hacer unos dibujos que representen las diferentes soluciones del problema según sea el número de lámparas? ¿Cómo puedes hacerlo? ¿Cuántas habrá en cada pared?

Solución

domingo, 22 de junio de 2008

Tres veces repetida

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

En un recipiente se introducen 900 tarjetas del 100 al 999 y se mezclan concienzudamente. Le pedimos a Marta que saque una de las tarjetas, anote la suma de los tres dígitos del número que sacó y rompa la tarjeta.

¿Cuál es el menor número de veces que deberá repetir Marta esta operación para poder estar seguros de que anotará al menos tres veces la misma suma?

Solución

sábado, 21 de junio de 2008

Olimpiada de Mayo

Hace poco que descubrí la existencia de esta competición. Un amigo me la había mencionado varias veces, pero no sabía cómo presentar a gente, y no le había prestado mucha atención. Sin embargo, recientemente me enteré que estaban organizando una sede en mi localidad, y recopilé algo de información, que comparto con vosotros.

Se trata de una competición Internacional, pero al parecer no tiene una página web de referencia (o yo no he conseguido encontrarla). Su organización recae en el CLAMI (Centro Latinoamericano de Matemáticas e Informática) y la Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas.

Su sistema de competición consiste en cinco problemas a resolver en tres horas, simultáneamente en todas las sedes que participen (en ocasiones hay un pequeño aplazamiento en alguna de las sedes, por lo que es fundamental no divulgar enseguida los problemas). Evidentemente, se celebra anualmente en el mes de mayo. Los premios se conceden por país, hasta un máximo de siete medallas para cada uno, que pueden ser, como es tradicional, de oro, plata o bronce. También se conceden menciones y diplomas.

Hay dos niveles, en el primer nivel compiten personas que cumplan a lo sumo 13 años durante el año de la prueba (como mucho, en mi país cursarán 1º de ESO) y en el segundo nivel compiten personas que a lo sumo cumplan 15 años el año de la prueba (3º de ESO en España).

Los problemas tienen una gran dificultad, pero son muy originales. Iré publicando alguno en el blog de vez en cuando. Aunque sus dos grupos de edad no se ajustan bien a los que yo uso, pondré los enunciados en primaria (los de primer nivel sencillos), primer ciclo (los difíciles de primer nivel, y los sencillos de segundo) y en segundo ciclo (los difíciles de segundo nivel).

Los requisitos para acceder a la prueba son muy variados según el país, pues (según parece) dependen de la organización local. En España estos requisitos no están muy definidos, puedes presentarte si entras en contacto con el organizador de alguna sede y le justificas tu interés (por ejemplo, puede ser suficiente con haberte clasificado en alguna competición local). Sin embargo, para obtener algún resultado es conveniente que hayas resuelto antes numerosos problemas.

Solución: próximamente

jueves, 19 de junio de 2008

La bolsa de dulces

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Una bolsa está llena con 71 dulces de los siguientes sabores: limón, naranja, uva y fresa. Hay el doble de dulces de limón que de fresa. Los dulces de naranja son uno menos que los de fresa. Hay seis dulces menos de uva que de limón.

¿Cuál es el número mínimo de dulces que tienes que sacar para tener dulces de por lo menos dos sabores?

Solución

domingo, 15 de junio de 2008

El área del más pequeño

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Cuadrado partido

Cuadrado partido

En un cuadrado de lado 6 unidades, dibujamos una diagonal y, desde otro de los vértices, una línea hasta la mitad del lado opuesto. Eso traza tres triángulos en el interior del cuadrado.

¿Puedes calcular el área del más pequeño?

Pista: busca ángulos iguales.

Solución

jueves, 12 de junio de 2008

Los tres sobres

Pruebas de selección para Estalmat 2008

En una mesa hay tres sobres marcados con las letras A, B y C. Los tres contienen una cantidad (entera) diferente de euros y no hay ninguno vacío, con la peculiaridad de que el sobre C es el que más euros tiene y el sobre A el que menos.

Ana, Beatriz y Carlos son tres hermanos "excelentes lógicos", que examinan cada uno el sobre marcado con su inicial.

Considera los siguientes casos:

a) Si el total de dinero en los tres sobres es de 10 euros, Ana mira el sobre A y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre". ¿Podrías deducirlo tú también?

b) Si el total de dinero en los tres sobres es de 11 euros, Carlos mira el sobre C y dice: "Ya sé cuánto hay en cada sobre", y Ana mira el sobre A y dice "Yo también sé cuánto hay en cada sobre". Entonces, Beatriz, sin mirar, asegura saber cuánto hay en su sobre. ¿Podrías tú decir cuánto hay en cada sobre?

c) Si el total de dinero en los tres sobres es de 13 euros, Ana, después de mirar el contenido de su sobre, declara que no puede deducir el contenido de los otros sobres. Mira entonces Carlos el suyo y dice que él tampoco puede saberlo. Entonces, Beatriz examina el suyo y declara que tampoco ella puede deducirlo. ¿Cuánto dinero hay en el sobre B?

d) Si el total de dinero en los tres sobres es de 32 euros, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los 32 euros en los tres sobres de forma que en C haya más que en B y en B más que en A? Si Ana mira su sobre en primer lugar, ¿puede en algún caso averiguar el contenido de los otros dos sobres? Razona la respuesta.

Actualización (10/07/2008): Como curiosidad, he encontrado un fragmento de este problema en un libro muy recomendable (y anterior a la prueba de Estalmat). Ignoro si se utilizó de inspiración, se trata de "Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos", de Bernardo Recamán. Pertenece a una colección de libros sobre problemas matemáticos que debo comentar aquí un día de estos. La mayoría de los libros de la colección son interesantes, pero éste me está gustando especialmente. El autor cita que el problema lo encontró originalmente en el examen para estudiantes talentosos AHSME, American High School Mathematics Examinations, de 1998.

Solución

miércoles, 11 de junio de 2008

Encuentro Preolímpico, primera convocatoria

Encuentro Preolímipico de Matemáticas de Alicante

Esto es una propuesta que tratamos de llevar a cabo José Antonio Mora, del IES San Blas y yo mismo, junto con todos los voluntarios que quieran participar en este proyecto.

La idea consiste en juntar en un centro, una tarde del curso, a todos los estudiantes de centros próximos de un determinado nivel interesados en presentarse a concursos o competiciones de matemáticas, para lograr que se conozcan entre ellos e informarles sobre el tipo de competiciones que pueden encontrar, las pruebas que deben superar, asistan a exposiciones (si procede), y que hablen con otros alumnos que, recientemente, hayan participado en ese nivel.

Pensamos que este tipo de encuentros pueden ser interesantes, tanto para los alumnos que empiezan en esto, como para los que llevan algún tiempo concursando.

En realidad, el encuentro tendría lugar en varias fechas, según el nivel al que fuera dirigido. La primera convocatoria, que será a principio de curso, el 2 de octubre de 2008, por la tarde (probablemente de 17:30 a 20:30), sería el encuentro entre estudiantes de bachillerato que se quieran presentar a la Olimpiada Española de Matemáticas (OME).

Todavía no tenemos fechas ni lugar para las posteriores convocatorias, pero tenemos intención que haya una para cuarto y tercero de ESO, otra para segundo y primero de ESO, y otra para sexto y quinto de primaria, sobre todo pensando en la Olimpiada de Matemáticas que organiza la SEMCV Al-Khwarizmi, pero pueden ser simultáneas o no, y pueden ser en el mismo centro o no, en función de cómo resulte esta primera.

La inscripción se realizará por correo electrónico, sencillamente enviando un mensaje a la dirección problematemh(arroba)yahoo.es, indicando los siguientes datos: Nombre, edad, etapa en la que está matriculado en el curso 2008-09, centro de procedencia, y un correo electrónico de contacto. Para facilitar cambios de última hora, se agradecería un teléfono de un responsable por centro, para poder avisar con una única llamada a todos los estudiantes de ese instituto o colegio. Con un único correo se pueden inscribir varios estudiantes. Estamos en condiciones de asegurar que la asistencia será gratuita, si se presentan gastos imprevistos, trataremos de corregirlos en futuras ediciones.

Los datos que se envíen se utilizarán exclusivamente para fines de organización del evento, siendo destruidos a continuación, salvo que se manifieste el deseo por parte del asistente a participar en una lista de correo, para futuros contactos, en cuyo caso se mantendrán los necesarios para este fin.

A falta de perfilar el programa, nos reuniremos a las 17:30, se confeccionarán los grupos de alumnos (preparados para que no se conozcan previamente), se repartirán unos cuantos problemas con algún guión (pistas), y se acudirá a la zona de trabajo (aulas). Después de un rato en el que se contestará a preguntas y se supervise la resolución de los problemas, se les impartirán las charlas, tanto de los profesores que tengan algo que decirles como de alumnos con alguna experiencia. Después, un tiempo para intercambio de datos y direcciones, y despedida.

Espero que también escriban a esta dirección profesores con ganas de aportar, tanto sugerencias como colaboración (seguro que vendrá bien que asistáis y nos contéis vuestras experiencias). Tal vez en otra ocasión podamos montar un grupo de trabajo para los profesores.

Actualización: he añadido algunos cambios y ampliaciones en la descripción de las sesiones, como que las convocatorias de ESO y primaria se centrarán en la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, y que el encuentro será gratuito en cualquier caso en esta edición.

lunes, 9 de junio de 2008

Cuadriláteros circunscritos

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Demuestra que si un cuadrilátero admite una circunferencia inscrita (es decir, tangente a sus cuatro lados), entonces la suma de dos de sus lados opuestos es igual a la suma de sus otros dos lados.

Solución

jueves, 5 de junio de 2008

Expresiones misteriosas

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Si nos dicen que se cumple la igualdad x2 + (1/x)2 = 4, ¿podemos, sin calcular el valor de x, saber cuánto vale la expresión x + 1/x?

Solución

miércoles, 4 de junio de 2008

Estalmat 2008

Ya se ha celebrado la prueba de Estalmat 2008, y a partir de ahora se empezarán a convocar a las familias de los seleccionados para la entrevista. Todavía no puedo hacer públicos los problemas que se usaron para seleccionar a los alumnos, pero puedo asegurar que han sido muy interesantes, aunque tal vez algo largos para ellos.

En unas semanas pondré aquí algunos de los enunciados, en la sección de primaria, junto con las soluciones que se me ocurren, así como algunas ideas que tuvieron algunos de los participantes, que muchas veces son muy interesantes y creativas.

La lista de los seleccionados para participar en este proyecto se hará pública cuando hayan concluido las entrevistas. Lamentablemente, la inmensa mayoría de los participantes quedarán fuera (sólo va a seleccionarse a 25 personas), pero eso, insisto, no significa que tengan menos talento, o que sean peores. Sencillamente, nuestros imperfectos instrumentos de medida no lo han detectado. A veces, insistiendo, leyendo, y preparándose, puedes hacer brillar tu talento. Aunque no formes partes de Estalmat, o no tengas un profesor dedicado, o no vayas a ese colegio tan magnífico. Dependes sólo de ti.

domingo, 1 de junio de 2008

Cuadrados en una trama

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Trama

Trama

En la trama de cuatro por cuatro puntos indicada junto a estas líneas, ¿cuántos cuadrados distintos se pueden dibujar de forma que sus vértices ocupan puntos de la trama?

Interpretamos que dos cuadrados son distintos cuando cambia alguno de los vértices en los que se apoya, es decir, que pueden ser cuadrados de la misma forma, pero en posiciones diferentes. Indica cuántos tamaños de cuadrado diferentes aparecen.

Solución