lunes, 28 de abril de 2008

Aumentando las raíces

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Si tenemos una ecuación de segundo grado de la forma x2 + ax + b = 0 con dos soluciones, y queremos construir otra ecuación de la forma x2 + cx + d = 0, de forma que cada una de sus soluciones valga una unidad más ¿Podríamos calcular c y d a partir de a y b? ¿Cómo sería la fórmula que los relaciona?

Plantea un ejemplo y razona la fórmula.

Solución

jueves, 24 de abril de 2008

Factura incompleta

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Tengo una factura que me indica que hace mes y medio se compró para mi empresa ocho astrodenios, un bartofón, tres cartunes y tres dosefríos, y se nos cobró un total de 350 euros.

Hace sólo un mes, tenemos otra factura del mismo proveedor, por valor de 250 euros, por comprar cinco astrodenios, dos bartofones, dos cartunes y un dosefrío.

La semana pasada, me llegó una tercera factura de tres astrodenios, tres bartofones, un cartún y dos dosefríos. Total, 220 euros.

Hemos perdido la lista de precios de la empresa, pero el precio de los bartofones se puede calcular. ¿Podrías calcular cuánto cuesta realmente cada bartofón, suponiendo que no ha habido ninguna subida de precios?

Y, más difícil todavía, si has calculado el coste de cada bartofón, ¿puedes indicar, sabiendo que nada de lo que nos han traído es gratis, el precio mínimo y máximo que podrían tener los astrodenios?

Solución

martes, 22 de abril de 2008

Olimpiadas de primaria y secundaria 2008

Ya se ha celebrado la fase comarcal de Alicante de este concurso, el pasado sábado, en Mutxamel, L'Alfas del Pi y en Petrer. En concreto, los institutos de Alicante acuden a la sede de Mutxamel.

El programa se desarrolló como estaba previsto, aunque las puertas del centro se abrieron algo tarde, y la aglomeración de personas en la entrada fue considerable. No nos dijeron cuántas personas se habían inscrito, pero los asistentes vimos mucha, mucha gente.

La hora de finalización de las pruebas se retrasó un poco (ya sabemos que muchos participantes tiene la idea genial en el último segundo), y a las 12:30 todavía había padres y profesores esperando (entre ellos, yo mismo).

En definitiva, creo que fue un éxito, estaría bien que publicaran las cifras de los participantes. Ahora, esperaremos a que hagan públicos los resultados. Si tú también estás impaciente, imagino que los pondrán aquí. Buena suerte.

Al parecer, los alumnos de mi centro salieron contentos, aunque habrá que esperar, porque sólo se clasifican 30 de las tres sedes por cada una de las categorías. Me alegraría que hubiese alguno de mis alumnos, pero en cualquier caso creo que la experiencia habrá sido provechosa.

Se me olvidaba: la próxima fase (provincial) será el 10 de mayo, en el Instituto La Mola, de Novelda. Espero que podamos vernos allí.

domingo, 20 de abril de 2008

Frutas en la balanza

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Al venir del mercado hemos dejado las frutas desordenadamente sobre unas balanzas, y jugando con ellas, hemos conseguido que dos de ellas queden en equilibrio.

En un plato de la primera balanza he puesto cinco manzanas y un melón, y en el otro, ocho naranjas.

En la segunda balanza, en un plato he puesto tres manzanas y cinco melones, y en el otro, he puesto veinte naranjas.

Para equilibrar la tercera balanza, he puesto las tres manzanas que me quedan en un plato, y una naranja (tampoco me quedan más) en la otra, pero sí me quedan melones ¿cuántos melones falta añadir a la naranja para equilibrar la última balanza?

Solución

jueves, 17 de abril de 2008

Desarrollo de un cubo

Representación del cubo

Representación del cubo

Observa el desarrollo del cubo decorado que hay junto a estas líneas. Como verás, tiene dos círculos (uno arriba y otro abajo), y una serie de flechas en las caras laterales que apuntan hacia arriba. Su desarrollo consiste en un recortable formado por seis cuadrados unidos por los lados, de forma que al doblar por esas uniones para unir los lados sueltos, formen un cubo.

Lo podéis observar debajo de estas líneas. Se trata del tradicional desarrollo de una tira de cuatro cuadrados (las flechas que apuntan hacia arriba), y, unidos al primer cuadrado, los dos cuadrados de los círculos arriba y abajo. La pregunta que debéis resolver es: ¿cómo sería el desarrollo del cubo si los círculos los hubiésemos dibujado en otros lugares? Es decir, completad los dibujos siguientes para que al recortarlos y unirlos obtengamos el mismo cubo del principio.

Desarrollo completo

Desarrollo completo

En el primer desarrollo, los círculos están en el primer y el tercer cuadrado de la tira larga, y la flecha está entre ellos y apunta hacia el primero.

Primer desarrollo

Primer desarrollo

En el segundo, los círculos están en el segundo y cuarto cuadrado de la tira, y la flecha, en el primero, apunta hacia el segundo cuadrado.

Segundo desarrollo

Segundo desarrollo

Solución

domingo, 13 de abril de 2008

Otra potencia de 3

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Este problema es mucho más sencillo que el anterior de bachillerato. Por lo menos, trata de números y operaciones que te son familiares.

Es posible que veas los problemas para tus compañeros de la ESO y pienses que son muy fáciles. ¿Serías tú capaz de calcular la última cifra de los números 32008 y 372008?

Lo que te pedimos es similar, aunque no lo parezca. Responde sólo a una pregunta: ¿es divisible el número 32008-1 entre 8?

Por supuesto, queremos que nos expliques y justifiques convincentemente tu razonamiento. Tanto para calcular las últimas cifras como para la pregunta (más complicada) acerca de divisibilidad.

Solución

jueves, 10 de abril de 2008

Potencia de 37

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Es posible que hayas visto que a los compañeros de primer ciclo se les pide calcular la última cifra de 32008 ¿verdad? ¿Serás capaz tú de calcularla? Sin ayuda de ordenadores, claro.

Como esta pregunta es muy fácil, trata de hacer algo parecido: calcula la última cifra también de 372008.

Explica paso a paso cómo lo haces, claro.

Solución

martes, 8 de abril de 2008

Inscripción olimpiada de primaria y secundaria

Esta semana (el día 11, viernes) finaliza el plazo de inscripción en la Olimpiada Matemática 2008 de la Comunidad Valenciana. La página donde se encuentra el formulario de inscripción está un poco oculta, y no tiene ningún sistema (aparentemente) que impida la inscripción indiscriminada de gente. Por si no la has encontrado en la página oficial de la Sociedad de Educación Matemática, te pongo un enlace aquí.

De forma similar al año pasado, me ha sido imposible completar la inscripción desde el ordenador en el que escribo estas líneas, supongo que por alguna incompatibilidad con el navegador que utilizo. Es una pena que no se cuide más la neutralidad tecnológica, es decir, se usen procedimientos que no discriminen a los usuarios de una u otra aplicación. En mi ordenador, no puedo trabajar con el (único) navegador que parece ser que funciona, porque es incompatible con mi sistema (se puede emular, pero no es sencillo), de forma que para poder dar de alta a la gente de mi instituto debo cambiar de ordenador. Además, sólo ofrecen una manera de inscribirse, de forma que no tengo alternativa. De nuevo volveré a escribir un correo electrónico para comunicarles esta situación, para ver si el año que viene la corrigen. Si leéis esto y estáis en un caso similar, escribid a la dirección de correo olimpiadalacant@gmail.com, o a la correspondiente a vuestra provincia dentro de la Comunidad Valenciana.

lunes, 7 de abril de 2008

Potencia de 3

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Estamos seguros de que sabes hacer potencias, calcular cosas como 25, 33 y casos similares. Pero si un número es terriblemente grande ¿podrás manejarlo?

Lo que te pedimos no es que calcules todas las cifras, sólo nos interesa la última de las 959 que tiene 32008. Y cuéntanos cómo lo has hecho (no vale decir que se lo pediste a la calculadora, porque no hay calculadoras que manejen tantas cifras, aunque sí algún programa de ordenador). Ya sabes, para celebrar el próximo año, danos la última cifra de 32008.

Solución

viernes, 4 de abril de 2008

Olimpiada Española de Matemáticas

Hace unos días (el pasado fin de semana, desde el 27 al 30 de marzo) se celebró en Valencia la fase final de la Olimpiada Matemática Española, en su edición de 2008, la XLIV. Según mi corresponsal (gracias, María), ya que no pude ir personalmente, la organización fue excelente, recibieron muy buen trato, y organizaron muchas actividades para los concursantes. Además, podemos ver mucha información en la página web creada para informar del evento, especialmente en la sección de prensa.

Los problemas fueron bastante complicados, más difíciles -en mi opinión- que la media de esta competición. Si miramos los resultados alcanzados por los alumnos, descubrimos que hay dos problemas que nadie ha conseguido resolver completamente (el primero y el quinto, uno de números enteros y otro de geometría). También es cierto que no todos sacaron un cero en estos dos problemas, hubo 13 y 5 personas, respectivamente, que obtuvieron más de la mitad de los puntos en ellos. El segundo problema (una desigualdad) fue resuelto por 7 personas y 12 alcanzaron más de 3 puntos. El tercero, otro de (digamos, por clasificarlo) geometría combinatoria, sólo lo resolvieron completamente 4 personas, aunque 29 lograron más de la mitad de la puntuación. En la segunda sesión, el cuarto problema, de números enteros, fue resuelto por cuatro, mientras que sólo 18 personas lograron más de la mitad, y el último, otra extraña mezcla de geometría y combinatoria, con tres personas con la máxima puntuación y sólo 7 con más de la mitad. Los resultados completos están en la página de las olimpiadas.

En cuanto a los premiados, los seis que han obtenido medalla de oro son Diego Izquierdo Arseguet, de Madrid, Alejandro Gimeno Sanz, de Valladolid, Juan José Madrigal Martínez, de Cataluña, Arnau Messegué Buisan, de Cataluña, Gabriel Fürstenheim Milerud, de Madrid, y David Alfaya Sánchez, de Madrid. Tres de Madrid, dos de Cataluña, y uno de Valladolid. Las 12 medallas de plata fueron para tres personas de Madrid, y una de Murcia, dos más de Baleares, otra de Galicia, de Burgos, de Cataluña, de Salamanca, de La Rioja y de Valencia. Las 18 de bronce, fueron para personas de Extremadura, Madrid, Cantabria, Elche, Granada, Galicia(2), Huelva, Castellón(2), Zaragoza(2), Salamanca, Cataluña(3), Castilla-La Mancha y Sevilla. Sus nombres los podéis encontrar en la página de resultados y también en la tercera edición del diario que publicaron de la final. Como habréis visto, muy repartidos los premios por toda la geografía española. Mi más sincera enhorabuena a todos los participantes, en especial a los que han obtenido algún reconocimiento, y también a los organizadores, que han hecho un gran trabajo. Ponen alto el listón para el año que viene.

De nuevo me gustaría aprovechar esta noticia para pedir información de otras convocatorias de concursos de problemas. Cualquier persona ponerse en contacto conmigo dejando un comentario en este blog (con correo electrónico, por ejemplo), y colaborar enviando información de competiciones de problemas de matemáticas que se celebren en su entorno (enlaces, fechas, participantes, etc).

jueves, 3 de abril de 2008

Cuestión de relojes

(Fase provincial de Castellón de la XVIII Olimpiada Matemática, 2007)

Josep y Víctor conciertan una cita a las ocho de la tarde. El reloj de Josep va 10 minutos retrasado, pero él cree que adelanta 5 minutos. El reloj de Víctor va cinco minutos adelantado, aunque él cree que atrasa diez minutos. ¿Quién llegará antes a la cita? Explica y justifica la respuesta.

Solución