domingo, 30 de marzo de 2008

Planeta octaédrico

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Un planeta de una lejana galaxia inicia una prometedora trayectoria como centro turístico de primer orden, explotando sus peculiaridades. Es un planeta con una forma muy similar a un octaedro regular (aunque algo achatado por los polos).

Octaedro

Octaedro

La empresa que más éxito tiene ha logrado la exclusiva de los recorridos sobre las aristas, que a la escala de los visitantes son unas sierras de una belleza singular, cada una de ellas con una vegetación, clima y vistas propias.

La principal condición de la exclusiva consiste en que todas las aristas transitables deberán visitarse el mismo número de veces, por lo que la compañía ofrece a sus visitantes recorridos completos que visitan todas las aristas. El planeta sólo tiene un espaciopuerto, situado en Ciudad Alta, sobre en uno de los vértices centrales, de forma que todos los recorridos empiezan y terminan en esta ciudad.

¿Podrías descubrir cuántas rutas distintas podría ofertar la compañía turística?

Supongamos que una tormenta deja intransitable una de las aristas. ¿Cuál es el mínimo número de aristas que deberemos quitar de cada ruta turística, para que salgan y regresen los viajeros a Ciudad Alta, recorriendo una sola vez cada arista de las restantes? Y, si permitimos en ese caso pasar más de una vez por alguna arista de forma excepcional, para recorrer todas las posibles, ¿cuántas aristas como mínimo deberemos recorrer más de una vez, y cuántas veces?

Razona tus respuestas.

Solución

sábado, 29 de marzo de 2008

El puente encantado

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

Trabajo como guardia en una pequeña ciudad, atravesada por un caudaloso río que forma tres grandes islas en su interior, unidas por dos puentes. Desde el lado derecho, donde nos reunimos por la mañana, parte un puente hacia cada isla, y otro atraviesa todo el río para llegar a la orilla opuesta. Desde el otro lado, sólo hay puente a las dos islas más grandes.

Plano del río

Plano del río

Todas las mañanas, salimos de nuestro cuartel, situado en el lado derecho del río, marcado en el plano con la letra A, y recorremos todos los puentes de la ciudad, menos uno, que aseguran está embrujado y trae, según dicen, mala suerte atravesarlo.

Nuestro destino es el otro cuartel, situado en la isla norte, marcado con una letra B. Allí comemos, descansamos y emprendemos el recorrido de la tarde, que es igual que el de la mañana, sólo que al contrario.

Cada uno de los guardias sigue un camino diferente, aunque a menudo cruzamos los mismos puentes. Ninguno de nosotros hace el mismo camino que otro. Traté de encontrar trabajo para un familiar, pero el capitán me dijo que no podía contratar ningún guardia más sin repetir una de las trayectorias, lo que era claramente un despilfarro.

¿Puedes averiguar, con estos datos, cuál es el puente encantado y cuántos guardias trabajamos en esta ciudad?

Razona brevemente las respuestas.

Solución

domingo, 23 de marzo de 2008

Una ciudad con tres islas

II Concurso del IES Miguel Hernández, 2007

En una ciudad costera hay tres islas muy próximas habitadas. El alcalde pretende ampliar la actual red de puentes que unen las islas entre sí y con la costa, de forma que quede como aparece en el dibujo, con dos puentes para cada una entre las más próximas y la orilla, y dos más que unen la isla pequeña, más lejana, con las otras dos.

Plano de los puentes

Plano de los puentes

Uno de los objetivos de la construcción es montar una línea de autobuses que pase por todos los puentes una única vez, recorriendo los centros más importantes de las islas y de la costa. Sin embargo, el líder de la oposición afirma que eso no será posible.

Es más, afirma que si él es elegido añadirá un único puente que permitirá hacer realidad ese circuito urbano de autobuses, que pasará por todos los puentes.

¿Crees que, con el diseño actual, es posible montar un circuito que atraviese todos los puentes una única vez?

¿Podrás añadir un único puente de forma que se pueda trazar el circuito? ¿Cómo sería el circuito? Razona brevemente las respuestas.

Solución

jueves, 20 de marzo de 2008

Sumafrutas

(Fase provincial de Castellón de la XVIII Olimpiada Matemática, 2007)

Tablero de frutas

Tablero de frutas

Substituye cada fruta por un número de una cifra, para conseguir que las sumas verticales y horizontales sean las indicadas. Por supuesto, cada fruta tiene siempre el mismo valor.

Solución

miércoles, 19 de marzo de 2008

Resultados del II concurso IES Miguel Hernández

Empezamos con la modalidad de primer ciclo. En esta ocasión, de forma similar al año pasado, no hubo suficiente diferencia entre los dos mejores participantes como para que nombrásemos un único ganador, de forma que repartimos el premio entre los dos. David Ferri y Julen Rebollo deberán resignarse.

Les acompañarán a la fase comarcal de la Olimpiada Matemática Ana Tolu Leal, Vidal Urbanejo, Guillermo González y Henar Baeza, estos dos últimos alumnos de primer curso, salvo que alguno de ellos no pueda dedicarle esa mañana del sábado, 19 de abril. Guillermo Domingo queda de suplente para ese último caso.

Sin embargo, en la modalidad de segundo ciclo, sí hubo una clara ganadora. Marina Miró ha sido la que mejor resultado ha obtenido.

A la fase comarcal de la Olimpiada Matemática asistirán, además de Marina, Arancha Sola, Laura Samaniego, Ana Ríos, Javier Latorre y Alberto Peña Mas, salvo que alguno de ellos no pueda acudir esa mañana del sábado, 19 de abril. En este nivel, lo que resultó más difícil fue poner orden entre los suplentes, pues todos estaban muy igualados. Además, alguno de los seleccionados ya nos ha comunicado dificultades para presentarse en esa fecha. Al final, propusimos a los siguientes alumnos, en el orden que aparecen: Laura Sola, Elena Seva, Antonio José Pérez, Ahmed Sadou y Sara Hernández. Nuestra enhorabuena a todos ellos, hubiésemos querido poder presentarlos a todos.

En la modalidad de bachillerato el premio fue para María Martínez (sí, la misma que se clasificó para la Olimpiada Nacional de Matemáticas), seguida a poca distancia por José Blas Herrero, que no consigió clasificarse en la Olimpiada Española. En esta prueba no hay ninguna selección que hacer, ni más premios de ninguna clase, y tal vez eso influye en el número de participantes. De todas formas, nuestra felicitación a los dos que acudieron a la final.

Final del II concurso IES Miguel Hernández

Y, por fin, ayer, terminó el concurso de este curso, en su modalidad de bachillerato. Si nos alegrábamos en los anteriores niveles del aumento de participación, en esta final la participación fue un poco decepcionante. Dada la escasez de participantes (y de resultados) en la fase abierta, esperábamos una mejor participación en la final, por lo que nos sorprendimos de que sólo hubiese dos participantes. Eso sí, la competición estuvo muy reñida entre ambos.

Suponemos que los alumnos de primero de bachillerato estaban cansados de tanto participar en las otras actividades, o del viaje a París, o que no supieron leer la convocatoria, o que no acertaron a observar el cambio de hora. Bueno, esto último lo dudo, porque nadie apareció en la otra fecha a la hora indicada.

domingo, 16 de marzo de 2008

Ortoedros divididos en cubos

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

Las dimensiones de un ortoedro de madera son enteras. Pintamos toda su superficie (las seis caras), lo cortamos mediante planos paralelos a las caras en cubos de una unidad de arista y observamos que exactamente la mitad de los cubos no tienen ninguna cara pintada. Probar que el número de ortoedros con tal propiedad es finito.

Puede resultar útil tener en cuenta que la raíz cúbica de 1/2 es aproximadamente 0,79, es decir, menor que 0,8.

Solución

sábado, 15 de marzo de 2008

Aniversario

Hoy, día 15 de marzo de 2008, este blog cumple un año.

En un principio nació para publicar los problemas que utilizábamos en nuestro modesto concurso de centro. Sin embargo, la buena acogida que tuvo (de una media de casi 7 visitas diarias en abril a una media de 20 en mayo) me decidió a continuar de forma temporal el blog (mientras hubiese más de 10 visitantes diarios), publicando problemas de competiciones a las que llevaba a mis alumnos y de las que me mantenía informado.

Ahora estas cifras me parecen pequeñas. Durante el último mes, la media de visitas diarias ha estado por encima de las 160, y tengo más de 20 suscripciones al RSS. Aún tengo un blog pequeñito (por la temática, no espero crecer a las cifras de los blogs generalistas), pero que lean lo que escribes 160 personas todos los días me hace esforzarme en buscar y ordenar los problemas, crear soluciones claras, razonadas, y que ofrezcan información sobre las vías de trabajo que se pueden seguir ante un problema nuevo, y revisar cuidadosamente los textos y los dibujos antes de publicarlos. Aún cometo errores, pero intento que sean pocos. También reviso los (hasta ahora escasos) comentarios y los contesto si lo creo necesario. Gracias a vosotros, lectores, por estar ahí.

Otro factor que me impulsa es la alta consideración que parecen tenerme los buscadores. Hace tiempo que salgo en la primera página de google si se buscan blog de problemas matematicos, pero ahora aparece este blog como el primero con esa búsqueda. Aunque si quitas la palabra "blog", quedo relegado al sexto puesto (según la herramienta de google ranking que utilizo). La verdad es que la mayor parte de visitas que me llegan hoy por hoy son las búsquedas. Confío en que con el tiempo la gente ponga enlaces a mi blog, y eso me proporcione visitantes más regulares y menos dependientes de las búsquedas.

De momento, he crecido en visitantes casi todos los meses. Si veo que se estanca, o desciende, no sé cómo reaccionaré, pero de momento mi intención es seguir mientras tenga tiempo y fuerzas. Espero que vosotros también sigáis.

viernes, 14 de marzo de 2008

Final del II concurso IES Miguel Hernández

Ayer, jueves, 13 de marzo de 2008, terminó el II concurso de problemas del Instituo de Educación Secundaria Miguel Hernández de Alicante, en su modalidad de primer y segundo ciclo de secundaria. La modalidad de bachillerato deberá esperar a la semana que viene.

La participación ha sido superior a la del año pasado, y voy a aprovechar la fecha para mencionar algunas cifras.

En primer ciclo de ESO, se presentaron un total de 10 alumnos a lo largo del concurso, aunque a la fase final sólo acudieron 6.

En segundo ciclo, 14 personas se presentaron al concurso, aunque sólo 8 acudieron a la final.

Gracias a todos por participar.

Cuando el resultado esté decidido y los premios entregados, publicaremos aquí mismo el orden definitivo (sin marcar los puntos, para no asustar), y poco a poco publicaremos los problemas y las soluciones.

El primer problema está previsto para el 23 de marzo y su solución, para el 6 de abril.

Como siempre, se publicarán dos problemas por semana, pero hay cuatro niveles (bueno, en el concurso aún no participan de primaria, pero no voy a abandonar esa sección).

jueves, 13 de marzo de 2008

Muchos seises

(Fase provincial de Valencia de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Un número se escribe usando sólo 2006 veces la cifra 6.

¿Cuál es la suma de las cifras del cuadrado de ese número?

Solución

domingo, 9 de marzo de 2008

Cuadrados

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática, 2006)

Tres cuadrados

Tres cuadrados

En un cuadrado de 16 unidades cuadradas inscribimos uno de forma oblicua, y trazamos otro en el interior de éste, con los lados paralelos al cuadrado grande, y de forma que si seguimos la línea que forman sus lados, pasamos por los vértices del cuadrado oblicuo. Si sabemos que el cuadrado pequeño tiene un área de 4 unidades cuadradas ¿cuál es el área del cuadrado oblicuo?

Solución

jueves, 6 de marzo de 2008

Tablero de ajedrez

(Fase comarcal de la XVIII Olimpiada Matemática, 2007)

Tableros

Tableros

Tenemos un tablero de ajedrez de 4 x 4, se sabe que hay 16 cuadrados iguales. Si no tenemos en cuenta el tamaño, ¿cuántos cuadrados se pueden formar?

¿Podríamos adivinar cuántos cuadrados hay en otro tablero de 5 x 5?

¿Y en el tablero de 8 x 8? Fíjate que este es el verdadero tablero de ajedrez.

Solución

domingo, 2 de marzo de 2008

Polinomio sin raíces enteras

(Fase nacional de la XLII Olimpiada Matemática Española, 2006)

Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero k tal que ninguno de los enteros P(1), P(2), ... , P(k) es divisible por k, entonces P(x) no tiene raíces enteras.

Solución