jueves, 30 de agosto de 2007

El área de la flecha

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se quiere pintar una señal como la de la imagen (una flecha dentro de un rectángulo), de forma que el grosor de la flecha (AG) mida 10 cm., la longitud hasta su punta (AB y GF) mida 20 cm., su punta sobresalga (BC y EF) 5 cm., y el ángulo en la punta de flecha (D) sea de 90 grados. El rectángulo que la contiene debe separarse de la flecha (medida de todas las líneas de puntos) 5 cm.

Encuentra el área de la flecha y del rectángulo.

Solución

domingo, 26 de agosto de 2007

Dividiendo el círculo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Un círculo se puede dividir con un segmento (una línea) en dos partes. Con dos segmentos (o líneas) se puede dividir, como máximo, en cuatro trozos.

a) ¿y con tres segmentos?

b) ¿y con cuatro segmentos?

c) ¿y con cinco segmentos?

d) ¿y con 10 segmentos?

(Siempre pedimos el número máximo de trozos. No tienen que ser iguales.)

Solución

jueves, 23 de agosto de 2007

Monedas atrapadas

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) Queremos poner monedas en un cuadriculado 2x9, de forma que en cada casilla haya una moneda o bien tenga un lado en común con otra casilla en la que haya una moneda. ¿Cuál es el número mínimo de monedas que necesitaremos?

Solución

domingo, 19 de agosto de 2007

Coincidencia de centros

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC.

Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Solución

jueves, 16 de agosto de 2007

Alterando un triángulo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Tomamos un triángulo, se reduce su altura un 10%, y se aumenta la base un 10%.

¿Disminuye, o aumenta el área, y en qué medida lo hace?

Solución

domingo, 12 de agosto de 2007

Equilibra la balanza

Tres balanzas

Tres balanzas

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Se trata de equilibrar la tercera balanza. ¿Que tendrás que poner en el plato, para que se mantenga en equilibrio, como las otras dos?

Solución

jueves, 9 de agosto de 2007

Contar ángulos

Hexágono con diagonales

Hexágono con diagonales

(Fase provincial de Castellón de la XVII Olimpiada Matemática) ¿Cuántos ángulos de 30 grados hay en esta figura?

Solución

domingo, 5 de agosto de 2007

Promediando coeficientes

(Fase local 2006 de la Olimpiada Matemática Española) Supongamos que las raíces de la ecuación x2 + a1x + b1 = 0 son x0 y x1. De forma similar, supongamos que las raíces de la ecuación x2 + a2x + b2 = 0 son x0 y x2, y que, en general, las raíces de la ecuación x2 + aix + bi = 0 son x0 y xi hasta un cierto valor n de i.

Calcular, razonadamente, las raíces de la ecuación de segundo grado x2 + ((a1 + a2+ ... + an)/n)x + ((b1 + b2 + ... + bn)/n) = 0.

Solución

jueves, 2 de agosto de 2007

A saltos por el paseo

(Fase comarcal de Alicante de la XVII Olimpiada Matemática) Una zona de un paseo tiene baldosas cuadradas. Recorremos de un extremo al otro dando saltos para pisar en una de cada tres baldosas, y a la vuelta, pisando una de cada dos. Si hemos contado en total 100 saltos ¿Cuántas baldosas forman esa fila en el paseo?

Solución